a) Ta có:
- Vectơ AB + 2AC + AD = AB + AC + AC + AD = AB + AC + AD + AC = AB + AD + 2AC
- Vectơ 3AC = AC + AC + AC
Vậy để chứng minh vectơ AB + 2AC + AD = 3AC, ta cần chứng minh AB + AD = 2AC.
Gọi M là trung điểm của AB, ta có AM = 1/2 AB.
Gọi N là trung điểm của AD, ta có AN = 1/2 AD.
Vì góc BAD = 60°, nên tam giác BAN là tam giác đều.
Do đó, AM = AN = 1/2 AB = 1/2 AD.
Vậy AB + AD = 2AM = 2AC.
Vậy vectơ AB + 2AC + AD = 3AC.

b) Ta có:
- Vectơ OA + OE + OF = OA + (OC + CE) + (OD + DF)
= (OA + OC + OD) + (CE + DF)
= (OC + OD) + (OA + CE + DF)
= 2OC + (OA + CE + DF)
Vì E, F lần lượt là trung điểm của BC, CD, nên CE = EF = FD.
Do đó, OA + OE + OF = 2OC + (OA + CE + DF) = 2OC + (OA + 2CE)
= 2OC + (OA + 2BC) = 2OC + (OA + 2(OC - OA)) = 2OC + (OC + OA)
= 3OC + OA.
Vậy để chứng minh vectơ OA + OE + OF = vectơ 0, ta cần chứng minh 3OC + OA = 0.
Vì O là giao điểm của 2 đường chéo, nên OC = OD.
Vì góc BAD = 60°, nên tam giác BOC là tam giác đều.
Do đó, OC = BC = CD = OD.
Vậy 3OC = 3OD = OA.
Vậy vectơ OA + OE + OF = 3OC + OA = 3OC + 3OD = 3(OC + OD) = 3(OC + OA) = 3(0) = vectơ 0.

c) Độ dài của vectơ AB+AD là:
AB+AD = AB+AC+CD = AB+AC+BC = AB+AC+AC = AB+2AC.
Độ dài của vectơ OB-DC là:
OB-DC = OB-OD-DC = OB-OC-CD = OB-OC-BC = OB-OC-AC = OB-(OC+AC) = OB-AC.
d) Gọi I là giao điểm của AM và BC.
Ta có:
Vectơ AM = Vectơ AI + Vectơ IM.
Vectơ AI = Vectơ AB + Vectơ BI = Vectơ AB + Vectơ BC.
Vectơ IM = Vectơ IC + Vectơ CM = Vectơ IC + Vectơ CA.
Vậy vectơ AM = Vectơ AB + Vectơ BC + Vectơ IC + Vectơ CA.
Vì góc BAC = góc MAC, nên tam giác BAI và MAC là cùng phía với nhau.
Do đó, Vectơ AB = -Vectơ AM.
Vậy vectơ AM = -Vectơ AM + Vectơ BC + Vectơ IC + Vectơ CA.
Vậy 2Vectơ AM = Vectơ BC + Vectơ IC + Vectơ CA.
Vậy Vectơ AM = 1/2(Vectơ BC + Vectơ IC + Vectơ CA).