Để chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này bằng nhau.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có AM ⊥ BC.

Gọi P là giao điểm của MI và AC. Ta cần chứng minh MP ⊥ AC để chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Vì I là trung điểm của AC, nên ta có AI = IC. Vì a // BC, nên ta có MI = MP.

Ta có:
∠MIP = ∠MIA + ∠AIP (định lý cắt giao hai tiếp tuyến)
= ∠MCA + ∠AIP (vì AI = IC)
= ∠MCA + ∠API (vì AI ⊥ BC)
= ∠MCA + ∠ACB (vì AI ⊥ BC)
= 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)

Vậy MP ⊥ AC, suy ra tứ giác AMCN là hình thoi.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMCN là hình thoi.