Để giải bài toán này, ta cần tìm ra tốc độ đổ nước của từng vòi.

Gọi x là tốc độ đổ nước của vòi I (đơn vị: 1 giờ/đầy bể)
Gọi y là tốc độ đổ nước của vòi II (đơn vị: 1 giờ/đầy bể)
Gọi z là tốc độ tháo nước của vòi III (đơn vị: 1 giờ/đầy bể)

Theo đề bài, ta có các phương trình sau:
1/x = 3 (để bể đầy sau 3 giờ khi chỉ mở vòi I)
1/y = 4 (để bể đầy sau 4 giờ khi chỉ mở vòi II)
1/(x - z) = 6 (để bể cạn sau 6 giờ khi chỉ mở vòi III)

Từ các phương trình trên, ta có hệ phương trình:
x = 1/3
y = 1/4
x - z = 1/6

Giải hệ phương trình này, ta có:
x = 1/3
y = 1/4
z = 1/6 - 1/3 = 1/6

Vậy tốc độ đổ nước của từng vòi là:
Vòi I: 1/3 giờ/đầy bể
Vòi II: 1/4 giờ/đầy bể
Vòi III: 1/6 giờ/đầy bể

Để tìm thời gian để bể đầy khi mở cả 3 vòi cùng một lúc, ta cần tính tổng tốc độ đổ nước của cả 3 vòi:
1/3 + 1/4 + 1/6 = 6/12 + 3/12 + 2/12 = 11/12 giờ/đầy bể

Vậy sau khoảng thời gian là 12/11 giờ, bể sẽ đầy khi mở cả 3 vòi cùng một lúc.