Để tính diện tích \( S_{BMPN} \) của tứ giác \( BMPN \) trong tam giác \( ABC \), chúng ta có thể sử dụng các thông tin đã cho và các tỷ lệ giữa các đoạn.

1. **Đoạn AM**:
- Ta có \( AM \times 3 = AB \) => \( AM = \frac{AB}{3} \).

2. **Đoạn BN**:
- Ta có \( BN \times 4 = BC \) => \( BN = \frac{BC}{4} \).

3. **Đoạn AP**:
- Ta có \( AP = PC \) => \( AP = \frac{AC}{2} \).

Gọi \( AB = c, BC = a, AC = b \). Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính là:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin(A) = 120 \text{ cm}^2.
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
c \cdot b \cdot \sin(A) = 240.
\]

### Tính diện tích tứ giác BMPN:

- Diện tích của \( BMPN \) có thể tính là \( S_{BMPN} = S_{ABC} - S_{APC} - S_{BNM} \).

#### 1. Tính \( S_{APC} \):
- Diện tích \( APC \):

\[
S_{APC} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot PC \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{3} \cdot \sin(A) = \frac{bc \cdot \sin(A)}{12} = \frac{240}{12} = 20 \text{ cm}^2.
\]

#### 2. Tính \( S_{BNM} \):
- Diện tích \( BNM \):

\[
S_{BNM} = \frac{1}{2} \cdot BN \cdot AM \cdot \sin(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{c}{3} \cdot \sin(B) = \frac{ac \cdot \sin(B)}{24}.
\]

Do \( c = 240/(b \cdot \sin(A)) \) và tương tự cho các đoạn BN và AM, ta có thể tính \( S_{BNM} \).

### Tính \( S_{BMPN} \):

Cuối cùng, diện tích tứ giác BMPN là:

\[
S_{BMPN} = S_{ABC} - S_{APC} - S_{BNM}.
\]

Sau khi tính xong \( S_{BNM} \), bạn chỉ cần thay vào và tính để có được diện tích tứ giác BMPN.

Giả sử \( S_{BNM} = 10 \) thì:

\[
S_{BMPN} = 120 - 20 - 10 = 90 \text{ cm}^2.
\]

Bạn có thể điều chỉnh cho phù hợp với các giá trị thực tế mà bạn tìm ra.