a) Để tính tất cả các tổng có thể nhận được, ta xét các trường hợp có thể xảy ra cho mỗi ô vuông trong bảng.

- Nếu ô vuông có giá trị là -1, ta có 3 trường hợp:
- Tổng hàng ngang chứa ô vuông này là -1 + 0 + 1 = 0.
- Tổng cột dọc chứa ô vuông này là -1 + 0 + 1 = 0.
- Tổng đường chéo chứa ô vuông này là -1 + 0 + 1 = 0.

- Nếu ô vuông có giá trị là 0, ta có 3 trường hợp:
- Tổng hàng ngang chứa ô vuông này là 0 + 0 + 0 = 0.
- Tổng cột dọc chứa ô vuông này là 0 + 0 + 0 = 0.
- Tổng đường chéo chứa ô vuông này là 0 + 0 + 0 = 0.

- Nếu ô vuông có giá trị là 1, ta có 3 trường hợp:
- Tổng hàng ngang chứa ô vuông này là 1 + 0 + (-1) = 0.
- Tổng cột dọc chứa ô vuông này là 1 + 0 + (-1) = 0.
- Tổng đường chéo chứa ô vuông này là 1 + 0 + (-1) = 0.

Tổng kết, tập hợp các giá trị mà mỗi tổng có thể nhận được là {0}.

b) Để chứng minh rằng trong tám tổng trên tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau, ta sử dụng nguyên lí Dirichlet.

Vì tập hợp các giá trị mà mỗi tổng có thể nhận được chỉ có một phần tử duy nhất là 0, nên ta có tám tổng khác nhau.

Tuy nhiên, vì ta có tám tổng và chỉ có hai giá trị có thể nhận được là -1 và 1, nên theo nguyên lí Dirichlet, ít nhất hai tổng phải có giá trị bằng nhau.

Vậy ta đã chứng minh được rằng trong tám tổng trên tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.