Chứng minh đẳng thức vectơ

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí về vectơ của tam giác.

Gọi vectơ \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{u}\), \(\overrightarrow{CD} = \mathbf{v}\), \(\overrightarrow{AE} = \mathbf{w}\), \(\overrightarrow{BF} = \mathbf{x}\), \(\overrightarrow{CF} = \mathbf{y}\), \(\overrightarrow{ED} = \mathbf{z}\).

Theo định lí về vectơ của tam giác, ta có:
\(\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}\) (1)
\(\mathbf{u} + \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{0}\) (2)
\(\mathbf{y} + \mathbf{z} + \mathbf{v} = \mathbf{0}\) (3)

Từ (1), ta có \(\mathbf{v} = -\mathbf{u} - \mathbf{w}\) (4)
Từ (2), ta có \(\mathbf{y} = -\mathbf{u} - \mathbf{x}\) (5)
Từ (3), ta có \(\mathbf{z} = -\mathbf{y} - \mathbf{v}\) (6)

Thay (4) và (5) vào (6), ta có:
\(\mathbf{z} = -(-\mathbf{u} - \mathbf{x}) - (-\mathbf{u} - \mathbf{w})\)
\(\mathbf{z} = \mathbf{u} + \mathbf{x} + \mathbf{u} + \mathbf{w}\)
\(\mathbf{z} = 2\mathbf{u} + \mathbf{x} + \mathbf{w}\)

Vậy, ta có:
\(\mathbf{ab} + \mathbf{cd} = \mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{u} + \mathbf{w} = 2\mathbf{u} + \mathbf{x} + \mathbf{w} = \mathbf{ae} + \mathbf{bf} + \mathbf{cf} + \mathbf{ed}\)

Vậy, điều phải chứng minh đã được chứng minh.