Để tìm các số \( x \), \( y \), \( z \) thỏa mãn hệ phương trình:

\[
\frac{x - y}{3} = \frac{x + y}{13} = \frac{xy}{200}
\]

Chúng ta sẽ đặt \( k \) là giá trị chung của các biểu thức:

\[
\frac{x - y}{3} = k \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{x + y}{13} = k \quad \text{(2)}
\]
\[
\frac{xy}{200} = k \quad \text{(3)}
\]

Từ phương trình (1), ta có:

\[
x - y = 3k \quad \text{(4)}
\]

Từ phương trình (2), ta có:

\[
x + y = 13k \quad \text{(5)}
\]

Cộng phương trình (4) và (5):

\[
(x - y) + (x + y) = 3k + 13k
\]
\[
2x = 16k
\]
\[
x = 8k \quad \text{(6)}
\]

Trừ phương trình (4) từ phương trình (5):

\[
(x + y) - (x - y) = 13k - 3k
\]
\[
2y = 10k
\]
\[
y = 5k \quad \text{(7)}
\]

Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình (3):

\[
\frac{xy}{200} = k
\]
\[
\frac{(8k)(5k)}{200} = k
\]
\[
\frac{40k^2}{200} = k
\]
\[
\frac{k^2}{5} = k
\]

Nếu \( k \neq 0 \), ta chia cả hai vế cho \( k \):

\[
\frac{k}{5} = 1
\]
\[
k = 5
\]

Thay \( k = 5 \) vào (6) và (7):

\[
x = 8k = 8 \times 5 = 40
\]
\[
y = 5k = 5 \times 5 = 25
\]

Vậy, các số \( x \) và \( y \) thỏa mãn hệ phương trình là \( x = 40 \) và \( y = 25 \).

Phương trình không yêu cầu tìm \( z \), nên ta không cần tìm \( z \). Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = 40, \quad y = 25
\]