Để chứng minh rằng S chia hết cho 80, ta cần chứng minh rằng S chia hết cho 16 và chia hết cho 5.

1. Chứng minh S chia hết cho 16:
Ta thấy rằng S có dạng: S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ...... + 3^2012
Ta thấy rằng 3^4 = 81 chia hết cho 16.
Vì vậy, ta có thể viết lại S thành: S = (3 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 3^5 + 3^6) + ...... + (3^2012)
Ta thấy rằng mỗi cặp số trong ngoặc đơn (3^4 + 3^5 + 3^6) chia hết cho 16.
Vậy, S chia hết cho 16.

2. Chứng minh S chia hết cho 5:
Ta thấy rằng S có dạng: S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ...... + 3^2012
Ta thấy rằng 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81 chia hết cho 5.
Vì vậy, ta có thể viết lại S thành: S = (3 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 3^5 + 3^6) + ...... + (3^2012)
Ta thấy rằng mỗi cặp số trong ngoặc đơn (3^1 + 3^2 + 3^3) chia hết cho 5.
Vậy, S chia hết cho 5.

Vậy, S chia hết cho cả 16 và 5, nên S chia hết cho 80.