Cho M = (a+2√a / √a+2 -2):(a-3√a/√a-3 +1)

a) Để rút gọn M, ta cần tìm cách biểu diễn M dưới dạng một phân số đơn giản hơn. Để làm điều này, ta sẽ nhân tử và mẫu của M với một số hợp lý để loại bỏ căn bậc hai.

M = ((a+2√a) / (√a+2 -2)) / ((a-3√a) / (√a-3 +1))

Ta nhân tử và mẫu của M với (√a+2 +2) và (√a-3 -1) để loại bỏ căn bậc hai:

M = ((a+2√a) / (√a+2 -2)) * ((√a+2 +2) / (√a+2 +2)) / ((a-3√a) / (√a-3 +1)) * ((√a-3 -1) / (√a-3 -1))

M = ((a+2√a)(√a+2 +2)) / ((a-3√a)(√a-3 -1))

M = (a√a + 2a + 2√a + 4) / (a√a - 3a - 3√a + 9 - 1)

M = (a√a + 2a + 2√a + 4) / (a√a - 3a - 3√a + 8)

b) Để tính giá trị của M tại a = 4 - 2√3, ta thay a = 4 - 2√3 vào biểu thức của M:

M = ((4 - 2√3)√(4 - 2√3) + 2(4 - 2√3) + 2√(4 - 2√3) + 4) / ((4 - 2√3)√(4 - 2√3) - 3(4 - 2√3) - 3√(4 - 2√3) + 8)

M = ((4 - 2√3)√(4 - 2√3) + 8 - 4√3 + 2√(4 - 2√3) + 4) / ((4 - 2√3)√(4 - 2√3) - 12 + 6√3 - 3√(4 - 2√3) + 8)

M = ((4 - 2√3)(2 - √3) + 8 - 4√3 + 2√(4 - 2√3) + 4) / ((4 - 2√3)(2 - √3) - 12 + 6√3 - 3√(4 - 2√3) + 8)

M = (8 - 4√3 - 4 + 6√3 + 8 - 4√3 + 2√(4 - 2√3) + 4) / (8 - 4√3 - 12 + 6√3 - 6√3 + 3√(4 - 2√3) + 8)

M = (24 - 2√3 + 2√(4 - 2√3)) / (14 + 3√(4 - 2√3))

c) Để tìm giá trị nguyên của a để M nhận giá trị nguyên, ta cần giải phương trình:

M = (a√a + 2a + 2√a + 4) / (a√a - 3a - 3√a + 8) = n, với n là một số nguyên

Ta có thể nhân tử và mẫu của M với (a√a - 3a + 3√a - 8) để loại bỏ căn bậc hai:

(a√a + 2a + 2√a + 4)(a√a - 3a + 3√a - 8) = n(a√a - 3a - 3√a + 8)

(a^2 + 2a√a + 2a√a + 4a + 2a√a + 4√a + 4√a + 8 + 2√a√a + 4a + 4√a + 8) = n(a^2 - 3a√a - 3a√a + 9a - 3√a√a + 8a - 3√a√a + 9√a - 3a + 8)

(a^2 + 4a√a + 8a + 8√a + 2√a^2 + 4a + 8) = n(a^2 - 6a√a + 17a + 9√a - 3a + 8)

(a^2 + 4a√a + 8a + 8√a + 2a^2 + 4a + 8) = n(a^2 - 6a√a + 14a + 9√a + 8)

(a^2 + 4a√a + 8a + 8√a + 2a^2 + 4a + 8) - (n(a^2 - 6a√a + 14a + 9√a + 8)) = 0

(a^2 + 4a√a + 8a + 8√a + 2a^2 + 4a + 8) - (na^2 - 6na√a + 14na + 9n√a + 8n) = 0

(2a^2 + (4 - 6n)a√a + (8 + 14n)a + (8 + 9n)√a + (8 - 8n)) = 0

Để M nhận giá trị nguyên, phương trình trên phải có nghiệm nguyên. Ta có thể thử các giá trị nguyên của a để tìm giá trị nguyên của a thỏa mãn phương trình.

d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực tiểu của M. Tuy nhiên, vì biểu thức của M khá phức tạp, việc tính đạo hàm có thể khá phức tạp.