Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a căn 2, SA=a và SA vuông (ABC)

Để tính thể tích của khối chóp S.AMN, ta cần tìm độ dài của đoạn thẳng AM hoặc AN. Ta sẽ tính độ dài của đoạn thẳng AM.

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có BH = HC = a/2.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B, nên ta có AB = BC = a.

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với đoạn thẳng BC. Khi đó, ta có:

SA² = SB² + BA²
a² = SB² + a²
SB = 0

Vậy, ta có SB = 0.

Vì G là trọng tâm của tam giác SBC, nên ta có:

SG = 2/3 * GH

Vì H là trung điểm của đoạn thẳng BC, nên ta có:

GH = BH = a/2

Vậy, ta có:

SG = 2/3 * a/2 = a/3

Mặt khác, ta có:

AG = 2/3 * SG = 2/3 * a/3 = 2a/9

Vậy, ta có AG = 2a/9.

Mặt phẳng chứa AG và song song với BC cắt SC tại M. Ta có:

SM = AG = 2a/9

Vậy, ta có SM = 2a/9.

Từ đó, ta có thể tính thể tích của khối chóp S.AMN:

V = 1/3 * S.AM * h

Với S.AM là diện tích của tam giác AMN và h là chiều cao của khối chóp.

Vì tam giác AMN là tam giác vuông cân tại M, nên ta có:

S.AM = 1/2 * AM * MN

Vì tam giác SMN là tam giác vuông cân tại M, nên ta có:

MN = SM = 2a/9

Vậy, ta có:

S.AM = 1/2 * AM * 2a/9 = AM * a/9

Vì tam giác AMN là tam giác vuông cân tại M, nên ta có:

AM = MN = 2a/9

Vậy, ta có:

S.AM = 2a/9 * a/9 = 2a²/81

Vậy, ta có thể tính thể tích của khối chóp S.AMN:

V = 1/3 * S.AM * h = 1/3 * 2a²/81 * a = 2a³/243

Vậy, thể tích của khối chóp S.AMN là 2a³/243.