Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của dãy số tự nhiên liên tiếp.

1. Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3:
Gọi số tự nhiên đầu tiên trong dãy là n.
Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3.
Ta thấy rằng 3n + 3 chia hết cho 3, vì 3n chia hết cho 3 và 3 chia hết cho 3. Vậy tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

2. Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5:
Gọi số tự nhiên đầu tiên trong dãy là n.
Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp là: n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10.
Ta thấy rằng 5n + 10 không chia hết cho 5, vì 5n chia hết cho 5 nhưng 10 không chia hết cho 5. Vậy tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 và tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5.