Để chứng minh DF ⊥ EF, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chiếu và trung điểm.

Gọi M là trung điểm của DC. Ta có:
- Vì E là trung điểm của BC nên BE = EC.
- Vì F là trung điểm của AH nên AF = FH.

Ta cần chứng minh DF ⊥ EF, tức là góc DFE = 90°.

Ta có:
- Góc DME = 90° (vì M là trung điểm của DC).
- Góc DHE = 90° (vì H là hình chiếu của D trên AC).

Vậy tứ giác DHME là tứ giác nội tiếp trong đó hai góc vuông DME và DHE.

Do đó, góc DME = góc DHE.

Ta có:
- BE = EC (vì E là trung điểm của BC).
- AF = FH (vì F là trung điểm của AH).

Vậy, hai đoạn thẳng BE và AF cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Do đó, ta có tứ giác BEAF là tứ giác nội tiếp trong đó hai đường chéo BE và AF cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Vì tứ giác DHME và tứ giác BEAF đều nội tiếp và có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng, nên theo định lí chóp bù, ta có DF ⊥ EF.

Vậy, ta đã chứng minh được DF ⊥ EF.