Để chứng minh rằng CTR (công trừu rồi) sau mọi số tự nhiên n thì 7^n - 1 chia hết cho 5, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra CTR đúng với n = 1.
Khi n = 1, ta có 7^1 - 1 = 7 - 1 = 6. 6 không chia hết cho 5, nên CTR không đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử CTR đúng với n = k, tức là 7^k - 1 chia hết cho 5.

Bước 3: Chứng minh CTR đúng với n = k + 1, tức là 7^(k+1) - 1 chia hết cho 5.

Ta có:
7^(k+1) - 1 = 7^k * 7 - 1 = (7^k - 1) * 7 + 7 - 1.

Vì 7^k - 1 chia hết cho 5 (theo giả thiết quy nạp), nên ta có (7^k - 1) * 7 chia hết cho 5.

Thêm vào đó, 7 - 1 = 6 chia hết cho 5.

Từ đó, ta suy ra (7^k - 1) * 7 + 7 - 1 chia hết cho 5.

Vậy, CTR đúng với n = k + 1.

Bước 4: Kết luận
Do CTR đúng với n = 1 và CTR đúng với n = k + 1 khi giả sử CTR đúng với n = k, nên theo nguyên lý quy nạp, CTR đúng với mọi số tự nhiên n.