Để chứng minh rằng A chia hết cho 105, ta cần chứng minh rằng A chia hết cho 3, 5 và 7.

1. Chứng minh A chia hết cho 3:
Ta có công thức tổng của dãy số học cấp số nhân là:
S = a * (r^n - 1) / (r - 1)
Trong đó, S là tổng của dãy số, a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng trong dãy.

Áp dụng công thức trên vào dãy số A, ta có:
A = 4 * (4^60 - 1) / (4 - 1)
= 4 * (2^120 - 1) / 3

Ta biết rằng 2^120 - 1 chia hết cho 3 (do 2^120 chia hết cho 3). Vì vậy, A chia hết cho 3.

2. Chứng minh A chia hết cho 5:
Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãy A đều chia hết cho 5 (vì 4^k chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương k). Vì vậy, tổng của dãy A cũng chia hết cho 5.

3. Chứng minh A chia hết cho 7:
Ta sẽ chứng minh rằng 4^k chia hết cho 7 với mọi số nguyên dương k.

Ta biết rằng 4^3 chia dư cho 7 là 1 (4^3 ≡ 1 (mod 7)). Vì vậy, ta có thể viết 4^3 = 7m + 1 với m là số nguyên.

Khi đó, ta có:
4^k = (4^3)^n = (7m + 1)^n = 7^nm^n + C(n, 1) * 7^nm^(n-1) + ... + C(n, n-1) * 7^nm + 1

Với C(n, k) là tổ hợp chập k của n.

Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãy trên đều chia hết cho 7 (vì chúng đều chứa 7^nm^k với k < n). Vì vậy, tổng của dãy A cũng chia hết cho 7.

Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng A chia hết cho 3, 5 và 7. Vì 3, 5 và 7 đều là các số nguyên tố cùng nhau, nên A chia hết cho 3 * 5 * 7 = 105.