a) Tứ giác AMCK là hình bình hành.

Vì M là trung điểm BC, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do tam giác ABC cân tại A, nên đường trung tuyến AM cắt BC tại trung điểm N của BC. Khi đó, ta có AN = NC.

Gọi I là trung điểm AC, K là điểm đối xứng với M qua I. Ta có IM = IK (vì I là trung điểm AC) và IM // KC (vì I là trung điểm AC và KC là đường thẳng đi qua M và đối xứng với AM qua I).

Vậy tứ giác AMCK là hình bình hành vì có hai cạnh đối xứng với nhau (IM = IK) và hai cạnh song song (IM // KC).

b) Để tứ giác AMCK là hình vuông, ta cần và đủ điều kiện là AM = KC và AM vuông góc với KC.

Vì AM = KC (vì tứ giác AMCK là hình bình hành), nên ta chỉ cần điều kiện AM vuông góc với KC.

Ta có AM vuông góc với KC khi và chỉ khi đường trung tuyến AM vuông góc với AC.

Vậy điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông là đường trung tuyến AM vuông góc với AC.