Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca = 3abc. Tìm min P = a^2/b(a^2+2) + b^2/c(b^2+2) + c^2/a(c^2+2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[P = \frac{a^2}{b(a^2+2)} + \frac{b^2}{c(b^2+2)} + \frac{c^2}{a(c^2+2)} \geq \frac{(a+b+c)^2}{ab(a^2+2)+bc(b^2+2)+ca(c^2+2)}\]
Đặt \(x = ab(a^2+2)+bc(b^2+2)+ca(c^2+2)\), ta có:
\[P \geq \frac{(a+b+c)^2}{x}\]
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), tương đương với việc tìm giá trị lớn nhất của \(x\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[x = ab(a^2+2)+bc(b^2+2)+ca(c^2+2) \geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\]
Đặt \(t = abc\), ta có:
\[x \geq 3\sqrt[3]{t^3(t^2+2)^3}\]
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(t\) sao cho \(ab+bc+ca = 3abc\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 3\sqrt[3]{t^2}\]
Do đó, \(t \leq \frac{ab+bc+ca}{3}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[\frac{ab+bc+ca}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\]
Do đó, \(t \leq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)^3}\).
Từ \(ab+bc+ca = 3abc\), ta có:
\[t \leq \sqrt[3]{27a^3b^3c^3} = 3abc\]
Vậy, \(t\) đạt giá trị lớn nhất khi \(t = 3abc\).
Do đó, \(x\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 3\sqrt[3]{t^3(t^2+2)^3} = 3\sqrt[3]{27a^3b^3c^3((3abc)^2+2)^3} = 3\sqrt[3]{27a^3b^3c^3(9a^2b^2c^2+2)^3}\).
Vậy, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(P \geq \frac{(a+b+c)^2}{x} \leq \frac{(a+b+c)^2}{3\sqrt[3]{27a^3b^3c^3(9a^2b^2c^2+2)^3}}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{(a+b+c)^2}{3\sqrt[3]{27a^3b^3c^3(9a^2b^2c^2+2)^3}}\) khi \(a = b = c\).