Xét các số thực không âm x, y thỏa mãn (a+b-1)^3-4a+3b+4=0. Tính max S=a^4+b^4

Để tìm giá trị lớn nhất của S = a^4 + b^4, ta cần tìm giá trị lớn nhất của a và b thỏa mãn điều kiện (a+b-1)^3 - 4a + 3b + 4 = 0.

Ta có thể giải phương trình trên bằng cách sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp khử Gauss.

Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, ta sẽ sử dụng phương pháp khử Gauss.

Đặt t = a + b - 1, ta có phương trình trở thành: t^3 - 4a + 3b + 4 = 0.

Giải hệ phương trình:
t^3 - 4a + 3b + 4 = 0
a + b - t + 1 = 0

Từ đó, ta có:
a = t - b + 1
Substitute vào phương trình đầu tiên:
t^3 - 4(t - b + 1) + 3b + 4 = 0
t^3 - 4t + 4b + 4 = 0
t^3 - 4t = -4b - 4

Đặt f(t) = t^3 - 4t, ta có:
f'(t) = 3t^2 - 4

Để tìm giá trị lớn nhất của f(t), ta giải phương trình f'(t) = 0:
3t^2 - 4 = 0
t^2 = 4/3
t = ±√(4/3)

Vì x và y là số thực không âm, nên t > 0. Do đó, ta có:
t = √(4/3)

Substitute t vào phương trình t^3 - 4t = -4b - 4:
(√(4/3))^3 - 4(√(4/3)) = -4b - 4
4√(4/3) - 4√(4/3) = -4b - 4
-4 = -4b - 4
b = 0

Substitute b vào phương trình a + b - t + 1 = 0:
a + 0 - √(4/3) + 1 = 0
a = √(4/3) - 1

Vậy, giá trị lớn nhất của S = a^4 + b^4 là:
S = (√(4/3) - 1)^4 + 0^4
S = (4/3 - 2√(4/3) + 1) + 0
S = 4/3 - 2√(4/3) + 1
S = 7/3 - 2√(4/3)