1. Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, ta có AI là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, I là trung điểm của AC.
Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM = MB.
Vì E là điểm đối xứng của H qua I, nên ta có HI = IE.
Từ đó, ta có:
AC = AI + IC = 2AI
HE = HI + IE = 2HI
Vì AI = HI, nên ta có AC = HE.

2. Tứ giác AEHB là hình chữ nhật.
Vì AE là cạnh của tam giác ABC và HB là đường cao của tam giác ABC, nên AE và HB là song song và bằng nhau.
Vì AH là đường cao của tam giác ABC và AEHB là hình chữ nhật, nên AH vuông góc với AEHB.
Vậy, tứ giác AEHB là hình chữ nhật.

3. Để tứ giác ABHI là hình thang cân, ta cần thêm điều kiện AB = HI.
Vì AB = HI, nên tứ giác ABHI có hai cặp cạnh bằng nhau (AB = HI và AH = IB).
Vì tứ giác ABHI có hai cặp cạnh bằng nhau và cạnh đáy AB song song với cạnh đáy HI, nên tứ giác ABHI là hình thang cân.