1. Chứng minh AC = HE:
Ta có tam giác ABC cân tại A, nên ta có AH là đường cao và I là trung điểm của AC.
Khi đó, ta có AI = IC và AE = EH (vì E là điểm đối xứng của H qua I).
Vì AI = IC và AE = EH, nên ta có tam giác AIE và tam giác HEC là hai tam giác đồng dạng (có cạnh bên tương ứng bằng nhau và cạnh góc tương ứng bằng nhau).
Do đó, ta có góc AIE = góc HEC.
Vì tam giác AIE và tam giác HEC là hai tam giác đồng dạng, nên ta có tỉ số đồng dạng: AI/HE = AE/EC.
Nhưng ta đã biết AI = IC và AE = EH, nên ta có AI/HE = IC/EC.
Từ đó, ta suy ra AC = HE.

2. Tứ giác AEHB là hình vuông:
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc BAC = góc BCA.
Vì tam giác ABC cân tại A và tam giác AIE và tam giác HEC là hai tam giác đồng dạng, nên ta có góc AIE = góc HEC.
Vì góc BAC = góc BCA và góc AIE = góc HEC, nên ta có góc BAI = góc HCE.
Vì AI = IC và AE = EH, nên ta có tỉ số đồng dạng: AI/HE = IC/EC.
Vì góc BAI = góc HCE và tỉ số đồng dạng AI/HE = IC/EC, nên ta có tam giác BAI và tam giác HCE là hai tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có góc BAI = góc HCE và BA = HC.
Vậy tứ giác AEHB là hình vuông.

Tam giác ABC thêm điều kiện AB = BC để tứ giác ABHI là hình thang cân:
Vì tam giác ABC cân tại A và tứ giác AEHB là hình vuông, nên ta có góc BAI = góc HCE = 45 độ.
Nếu AB = BC, thì ta có góc BAC = góc BCA = 67.5 độ.
Vì góc BAC = góc BCA = 67.5 độ và góc BAI = góc HCE = 45 độ, nên ta có tứ giác ABHI là hình thang cân.