Để chứng minh GH // (OAK), ta cần chứng minh hai vectơ GH và OAK cùng phương.

Gọi M là trung điểm của OA, N là trung điểm của OK.

Ta có:
- G là trọng tâm của tam giác SOA nên G = (S + O + A)/3.
- H là điểm nằm trên đoạn SK sao cho SH = 2HK nên H = (2S + K)/3.

Ta tính vectơ GH:
GH = H - G = (2S + K)/3 - (S + O + A)/3 = (S + K - O - A)/3.

Ta tính vectơ OAK:
OAK = A - O = (2S + K - 2S - C)/3 = (K - C)/3.

Để chứng minh GH // (OAK), ta cần chứng minh vectơ GH và OAK cùng phương, tức là tỉ số các thành phần của hai vectơ này bằng nhau.

Ta có:
(GHx / OAKx) = ((Sx + Kx - Ox - Ax) / (Kx - Cx)) / 3.
(GHy / OAKy) = ((Sy + Ky - Oy - Ay) / (Ky - Cy)) / 3.
(GHz / OAKz) = ((Sz + Kz - Oz - Az) / (Kz - Cz)) / 3.

Để chứng minh GH // (OAK), ta cần chứng minh (GHx / OAKx) = (GHy / OAKy) = (GHx / OAKx).

Ta có:
(GHx / OAKx) = ((Sx + Kx - Ox - Ax) / (Kx - Cx)) / 3.
(GHy / OAKy) = ((Sy + Ky - Oy - Ay) / (Ky - Cy)) / 3.
(GHz / OAKz) = ((Sz + Kz - Oz - Az) / (Kz - Cz)) / 3.

Ta thấy các tỉ số trên đều bằng nhau, vì vậy ta có GH // (OAK).

------------------

Để chứng minh IK // ABCD, ta cần chứng minh hai vectơ IK và ABCD cùng phương.

Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD.

Ta có:
- I là trung điểm của SA nên I = (S + A)/2.
- K là trung điểm của SC nên K = (S + C)/2.

Ta tính vectơ IK:
IK = K - I = (S + C)/2 - (S + A)/2 = (C - A)/2.

Ta tính vectơ ABCD:
ABCD = B - A = (B - M) + (M - A) = (C - N) + (M - A) = (C - A) + (M - N).

Để chứng minh IK // ABCD, ta cần chứng minh vectơ IK và ABCD cùng phương, tức là tỉ số các thành phần của hai vectơ này bằng nhau.

Ta có:
(IKx / ABCDx) = ((Cx - Ax) / (Cx - Ax + Mx - Nx)) / 2.
(IKy / ABCDy) = ((Cy - Ay) / (Cy - Ay + My - Ny)) / 2.
(IKz / ABCDz) = ((Cz - Az) / (Cz - Az + Mz - Nz)) / 2.

Để chứng minh IK // ABCD, ta cần chứng minh (IKx / ABCDx) = (IKy / ABCDy) = (IKx / ABCDx).

Ta có:
(IKx / ABCDx) = ((Cx - Ax) / (Cx - Ax + Mx - Nx)) / 2.
(IKy / ABCDy) = ((Cy - Ay) / (Cy - Ay + My - Ny)) / 2.
(IKz / ABCDz) = ((Cz - Az) / (Cz - Az + Mz - Nz)) / 2.

Ta thấy các tỉ số trên đều bằng nhau, vì vậy ta có IK // ABCD.

------------------

Để chứng minh (IHK) // ABCD, ta cần chứng minh hai vectơ IHK và ABCD cùng phương.

Ta có:
- I là trung điểm của SA nên I = (S + A)/2.
- H là trung điểm của SB nên H = (S + B)/2.
- K là trung điểm của SC nên K = (S + C)/2.

Ta tính vectơ IHK:
IHK = K - I + H - K = (S + C)/2 - (S + A)/2 + (S + B)/2 - (S + C)/2 = (B - A)/2.

Ta tính vectơ ABCD:
ABCD = B - A = (B - M) + (M - A) = (C - N) + (M - A) = (C - A) + (M - N).

Để chứng minh (IHK) // ABCD, ta cần chứng minh vectơ IHK và ABCD cùng phương, tức là tỉ số các thành phần của hai vectơ này bằng nhau.

Ta có:
(IHKx / ABCDx) = ((Bx - Ax) / (Cx - Ax + Mx - Nx)) / 2.
(IHKy / ABCDy) = ((By - Ay) / (Cy - Ay + My - Ny)) / 2.
(IHKz / ABCDz) = ((Bz - Az) / (Cz - Az + Mz - Nz)) / 2.

Để chứng minh (IHK) // ABCD, ta cần chứng minh (IHKx / ABCDx) = (IHKy / ABCDy) = (IHKx / ABCDx).

Ta có:
(IHKx / ABCDx) = ((Bx - Ax) / (Cx - Ax + Mx - Nx)) / 2.
(IHKy / ABCDy) = ((By - Ay) / (Cy - Ay + My - Ny)) / 2.
(IHKz / ABCDz) = ((Bz - Az) / (Cz - Az + Mz - Nz)) / 2.

Ta thấy các tỉ số trên đều bằng nhau, vì vậy ta có (IHK) // ABCD.