Để chứng minh BI = CI, ta sẽ sử dụng định lí hình chiếu.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có BM = MC.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có đường cao BK cũng là đường trung tuyến của tam giác BMC. Do đó, ta có BM = MK = MC.

Gọi α là góc BAC. Ta có góc BKC = 90° - α và góc BAC = α.

Vì tam giác BKC là tam giác vuông tại K, nên ta có tan(góc BKC) = BK/KC = tan(90° - α) = cot(α).

Theo định lí hình chiếu, ta có tan(góc BKC) = BK/KC = BM/MC.

Do BM = MC, nên ta có BK/KC = 1.

Từ đó, ta suy ra BK = KC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có HG = 2HI (vì G là trọng tâm).

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có HG = BG/2.

Do đó, BG = 2HI.

Ta có BI = BG - GI = 2HI - HI = HI.

Vậy ta có BI = CI.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh tan^2(C) = BI/CI.

Gọi β là góc ABC. Ta có góc BAC = α và góc ABC = β.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có tan(góc ABC) = tan(β) = AC/BC.

Từ đó, ta suy ra AC = BC*tan(β).

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có tan(góc BAC) = tan(α) = BC/AC.

Từ đó, ta suy ra BC = AC*tan(α).

Kết hợp hai công thức trên, ta có BC^2 = AC*BC*tan(α) = AC*BC*tan(α)*tan(β).

Do đó, ta có tan^2(C) = BC^2/AC^2 = (AC*BC*tan(α)*tan(β))/(AC^2) = BC*tan(α)*tan(β)/AC = BI/CI.

Vậy ta đã chứng minh được BI = CI và tan^2(C) = BI/CI.