Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O)

a) Ta có OP ⊥ AP và OM ⊥ AQ (vì OM là đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP). Vậy OP và OM là hai đường cao của tam giác AMP và tam giác AMQ, tương ứng. Do đó, ta có:
∠AMP = ∠OMA và ∠AMQ = ∠OMA
Vì ∠AMP = ∠AMQ (cùng là góc ở tâm nằm trên cùng một cung), nên ta có:
∠AMP = ∠AMQ = ∠OMA
Từ đó, ta suy ra tam giác AMP và tam giác AMO đồng dạng (có hai góc bằng nhau), nên MA = MO.

b) Gọi I là giao điểm của AN và BC. Ta cần chứng minh rằng AB + AC - BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N, tức là AB + AC - BC = AI.
Ta có ∠ANB = ∠ACB (cùng là góc nằm trên cùng một cung lớn), nên tam giác ANB và tam giác ACB đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Tương tự, ta có ∠ANC = ∠ACB, nên tam giác ANC và tam giác ACB đồng dạng.
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:
AN/AB = AC/AN và AN/AC = AB/AN
Từ đó, ta suy ra:
AN^2 = AB * AC
Tương tự, ta có:
AI^2 = AB * AC
Vậy, AB + AC - BC = AI.