Để chứng minh rằng 3n + 11 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử rằng hai số 3n + 11 và 3n + 2 không là hai số nguyên tố cùng nhau với nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương k lớn hơn 1 sao cho k là ước chung của cả hai số.

Vì k là ước chung của 3n + 11 và 3n + 2, ta có:
3n + 11 = ak (với a là một số nguyên dương)
3n + 2 = bk (với b là một số nguyên dương)

Tiếp theo, ta sẽ trừ hai phương trình trên để loại bỏ biến n:
(3n + 11) - (3n + 2) = ak - bk
9 = (a - b)k

Vì 9 là một số nguyên tố, nên ta có hai trường hợp xảy ra:
1. a - b = 1 và k = 9
2. a - b = 9 và k = 1

Trường hợp 1: a - b = 1 và k = 9
Từ phương trình (3n + 11) - (3n + 2) = ak - bk, ta có:
9 = (a - b)k
9 = (1)9
9 = 9

Trường hợp này không có giá trị nghiệm nào vì a - b = 1 không thể nhân với k = 9 để có kết quả là 9.

Trường hợp 2: a - b = 9 và k = 1
Từ phương trình (3n + 11) - (3n + 2) = ak - bk, ta có:
9 = (a - b)k
9 = (9)1
9 = 9

Trường hợp này cũng không có giá trị nghiệm nào vì a - b = 9 không thể nhân với k = 1 để có kết quả là 9.

Vì không có trường hợp nào thỏa mãn, giả sử ban đầu là sai. Do đó, ta có kết luận rằng 3n + 11 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.