a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABD: Ta có BM vuông góc với AD và DP vuông góc với AB, nên MP song song với BD (do cùng vuông góc với AB và AD). Tương tự, BN vuông góc với CD và DQ vuông góc với BC, nên NQ song song với AC (do cùng vuông góc với BC và CD). Do đó, ta có MP || BD và NQ || AC. Vì O là giao điểm của AC và BD, nên O là trung điểm của MP và NQ. Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại H, và O là trung điểm của MP và NQ, nên theo định nghĩa, H là trực tâm của tam giác ABD. b) Chứng minh A, H, K, C thẳng hàng: Ta đã chứng minh H là trực tâm của tam giác ABD. Khi đó, AH là đường cao của tam giác ABD, nên AH vuông góc với BD. Tương tự, CH là đường cao của tam giác CBD, nên CH vuông góc với BD. Vì AH và CH cùng vuông góc với BD, nên AH || CH. Do đó, A, H, K, C thẳng hàng. c) Chứng minh góc PDQ = góc MBN: Ta có MP || BD và NQ || AC (như đã chứng minh ở câu a). Vì MP và NQ là hai đường chéo của tứ giác MNPQ, nên góc PDQ = góc MBN (do cùng nằm ở cùng một vị trí tương ứng). d) Chứng minh góc PHM = góc QKN: Ta đã chứng minh H là trực tâm của tam giác ABD và K là trực tâm của tam giác CBD. Vì H là trực tâm của tam giác ABD, nên góc PHM = 90° (do HM là đường cao của tam giác ABD). Tương tự, vì K là trực tâm của tam giác CBD, nên góc QKN = 90° (do KN là đường cao của tam giác CBD). Vì vậy, góc PHM = góc QKN