Một số tự nhiên khi chia cho 30 được thương là ???? và dư 18 có thể viết dưới dạng ???? = 30???? + 18 với ???? ∈ ????.

Để chứng tỏ rằng ???? chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 5, ta sẽ chứng minh theo hai phần:

1. ???? chia hết cho 6:
Gọi ???? = 30???? + 18, ta có:
???? = 6(5???? + 3)
Vì 5???? + 3 là một số tự nhiên, nên ???? chia hết cho 6.

2. ???? không chia hết cho 5:
Giả sử ???? chia hết cho 5, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho ???? = 5k.
Khi đó, ta có:
5k = 30???? + 18
5k - 18 = 30????
Đặt m = k - 3, ta có:
5m = 30????
m = 6????
Vậy, ???? = 5k = 5(m + 3) = 5(6???? + 3) = 30???? + 15
Như vậy, ???? khi chia cho 30 sẽ dư 15, không phải dư 18 như đã cho ban đầu.
Vì vậy, giả định ???? chia hết cho 5 là sai.

Từ đó, ta kết luận rằng ???? chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 5.