Để chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình x^4 + y^4 = 15z^2 + 6, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích toán học.

Giả sử tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình đã cho. Ta sẽ chứng minh rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Phân tích phương trình x^4 + y^4 = 15z^2 + 6:
x^4 + y^4 = 15z^2 + 6
x^4 + y^4 - 6 = 15z^2

Ta biết rằng mỗi số nguyên chia hết cho 3 có thể viết dưới dạng 3k, 3k + 1 hoặc 3k + 2. Vì vậy, ta có thể phân tích phương trình thành các trường hợp sau:

1. Nếu x và y đều chia hết cho 3:
x = 3a, y = 3b (với a, b là các số nguyên)
(3a)^4 + (3b)^4 - 6 = 15z^2
81a^4 + 81b^4 - 6 = 15z^2
81(a^4 + b^4) - 6 = 15z^2
81(a^4 + b^4) = 15z^2 + 6

Vì 81 chia hết cho 3, nhưng 15z^2 + 6 không chia hết cho 3, nên phương trình trên không thể xảy ra.

2. Nếu x chia hết cho 3 và y không chia hết cho 3:
x = 3a, y = 3b + 1 (với a, b là các số nguyên)
(3a)^4 + (3b + 1)^4 - 6 = 15z^2
81a^4 + 81b^4 + 12b^3 + 12b^2 + 4b + 1 - 6 = 15z^2
81a^4 + 81b^4 + 12b^3 + 12b^2 + 4b - 4 = 15z^2
81(a^4 + b^4) + 12b^3 + 12b^2 + 4b - 4 = 15z^2

Vì 81 chia hết cho 3, nhưng 12b^3 + 12b^2 + 4b - 4 không chia hết cho 3, nên phương trình trên không thể xảy ra.

3. Nếu x không chia hết cho 3 và y chia hết cho 3:
x = 3a + 1, y = 3b (với a, b là các số nguyên)
(3a + 1)^4 + (3b)^4 - 6 = 15z^2
81a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 1 + 81b^4 - 6 = 15z^2
81a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 81b^4 - 5 = 15z^2
81(a^4 + b^4) + 12a^3 + 6a^2 - 5 = 15z^2

Vì 81 chia hết cho 3, nhưng 12a^3 + 6a^2 - 5 không chia hết cho 3, nên phương trình trên không thể xảy ra.

4. Nếu x và y đều không chia hết cho 3:
x = 3a + 1, y = 3b + 1 (với a, b là các số nguyên)
(3a + 1)^4 + (3b + 1)^4 - 6 = 15z^2
81a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 1 + 81b^4 + 12b^3 + 12b^2 + 4b + 1 - 6 = 15z^2
81a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 81b^4 + 12b^3 + 12b^2 + 4b - 4 = 15z^2
81(a^4 + b^4) + 12a^3 + 6a^2 + 12b^3 + 12b^2 + 4b - 4 = 15z^2

Vì 81 chia hết cho 3, nhưng 12a^3 + 6a^2 + 12b^3 + 12b^2 + 4b - 4 không chia hết cho 3, nên phương trình trên không thể xảy ra.

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình x^4 + y^4 = 15z^2 + 6. Vì vậy, phương trình đã cho không có nghiệm.