Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường tròn nội tiếp.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có các tính chất sau:
1. Tam giác ABC và tam giác AEF đồng dạng (do có 2 góc tương đồng).
2. Gọi H là hình chiếu của O lên EF. Ta có OH song song với EF (do EF tiếp xúc với đường tròn nội tiếp).
3. Gọi M là trung điểm của BC. Ta có OM song song với EF (do EF song song với BC).
4. Gọi N là trung điểm của EF. Ta có MN song song với BC (do MN song song với EF và EF song song với BC).

Với các tính chất trên, ta có thể xây dựng một số tam giác đồng dạng để giải bài toán.

Gọi x = AM = MC và y = AN = NE. Khi đó, ta có MN = 2 cm và BC = 6 cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMN, ta có:
OM^2 + MN^2 = ON^2
=> (x/2)^2 + 2^2 = (y/2)^2
=> x^2/4 + 4 = y^2/4
=> x^2 + 16 = y^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC, ta có:
AB^2 = AC^2 + BC^2
=> (2x)^2 = (2y)^2 + 6^2
=> 4x^2 = 4y^2 + 36
=> x^2 = y^2 + 9

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
x^2 + 16 = y^2
x^2 = y^2 + 9

Giải hệ phương trình trên, ta được x = 5 và y = 4.

Vậy, AM = MC = 5 cm và AN = NE = 4 cm.

Chu vi tam giác ABC là:
AB + BC + AC = 2x + 6 + 2y = 2(5) + 6 + 2(4) = 10 + 6 + 8 = 24 cm.

Vậy, chu vi tam giác ABC là 24 cm.