Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), BC = 2r. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Cho r = 5cm, AB = 6cm. Tính AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. CM AB*AD = AE*AC. CH = BC * sin^2B. CM 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm. Xác định vị trí điểm A để tứ giác ADHE có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất theo r

a. Ta có tam giác AHB vuông tại H, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AH^2 = AB^2 - BH^2
= AB^2 - (BC/2)^2
= 6^2 - (5/2)^2
= 36 - 6.25
= 29.75
Vậy AH = √29.75 ≈ 5.46 cm.

b. Ta có tam giác AHD và tam giác AHE đồng dạng (cùng có góc vuông và góc A), nên ta có tỉ lệ:
AD/AH = AH/AE
Vậy AB*AD = AE*AC.

c. Ta có tam giác CHB vuông tại H, nên ta có:
sinB = CH/BC
sin^2B = (CH/BC)^2
= (BC*sinB/BC)^2
= sin^2B.

d. Vì A, D, H, E cùng thuộc đường tròn (O), nên tâm đường tròn đó chính là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHD và đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. Gọi tâm đường tròn là O.

e. Để tứ giác ADHE có diện tích lớn nhất, ta cần điểm A nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AHD và đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.