a) Vì tam giác ABC là tứ giác nội tiếp (O), nên ta có:
∠ABC + ∠ADC = 180° (1)
∠BAC + ∠BDC = 180° (2)
Từ (1) và (2), ta có: ∠ABC + ∠ADC = ∠BAC + ∠BDC
suy ra tứ giác MADC là tứ giác nội tiếp.
Tương tự, tứ giác MBCD cũng là tứ giác nội tiếp.
suy ra  tứ giác MADC và tứ giác MBCD đều nội tiếp vào đường tròn (O).
suy ra 4 điểm M, N, A, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi E là giao điểm của đường cao AM và đường kính AD.
Ta có: ∠AEM = 90° (do AM là đường cao)
∠ADE = 90° (do AD là đường kính)
suy ra  ∠AEM = ∠ADE = 90°.
suy ra điểm E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
suy ra ∠ABD = ∠AED (cùng nằm trên cung cung AB)
∠ADE = 90°
suy ra tam giác ABD là tam giác vuông tại A.