Để giải các bài toán trong đề kiểm tra này, ta cần phân tích điều kiện để hàm số liên tục tại những điểm đã cho.

### Câu 1:
Hàm số:
\[ f(x) = \frac{x^2 - 2}{mx - 2} \]
Điều kiện liên tục tại \( x = 2 \):
- Tính giới hạn khi \( x \to 2 \):
\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2^2 - 2}{m \cdot 2 - 2} = \frac{2}{2m - 2} = \frac{1}{m - 1} \]

- Để hàm liên tục tại \( x = 2 \), \( \lim_{x \to 2} f(x) \) phải bằng giá trị của hàm tại \( x = 2 \). Tức là \( f(2) \) phải xác định và khác vô định.

- Từ đó, chọn các giá trị cho m:
- Nếu \( m = 1 \): hàm số sẽ không xác định vì mẫu \( 0 \).
- Nếu \( m \neq 1 \): hàm số sẽ liên tục.

Giá trị thực của tham số \( m \) để hàm này liên tục là \( m \neq 1 \).

### Câu 2:
Hàm số:
\[ f(x) = \frac{x - 1}{3x - 1} \]
Điều kiện liên tục tại \( x = 1 \):
- Tính giới hạn khi \( x \to 1 \):
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1 - 1}{3 \cdot 1 - 1} = \frac{0}{2} = 0 \]

- Để hàm liên tục tại \( x = 1 \), \( f(1) \) phải bằng giá trị giới hạn. Từ đó không có tham số nào trong trường hợp này, \( m \).

### Câu 3:
Hàm số:
\[ f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{k + 1}} \]
Điều kiện liên tục tại \( k = 2 \):
- Tính giới hạn khi \( x \) tiếp cận 2:
\[ f(2) = \sqrt{\frac{2 - 1}{k + 1}} = \sqrt{\frac{1}{k + 1}} \]

Cần đảm bảo rằng \( k + 1 \) dương.
- Nếu k = -1 thì hàm vẫn xác định.
- Nếu \( k = -1 \): hàm không xác định.

### Câu 4:
Giới hạn:
- Bài này muốn biết hàm \(\sqrt{x - 2}\) liên tục tại \(x = 3\).
- Tại \(x = 3\), hàm này xác định rõ.

Tóm lại:
- Câu 1: \( m \neq 1 \);
- Câu 2: Không có tham số;
- Câu 3: \( k \) có thể là giá trị nào đó miễn sao không mắc các trường hợp vô định;
- Câu 4: Hàm xác định tại \( x = 3 \).

Nếu cần thêm sự trợ giúp, hãy cho mình biết!