Chứng minh rằng dãy số (u_{n}) với u_{n} = (2n + 1)/(5n - 1) giảm và bị chặn

Để chứng minh rằng dãy số (u_{n}) giảm và bị chặn, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:

1. Dãy số (u_{n}) giảm:
Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng u_{n+1} < u_{n} với mọi n.

Ta có: u_{n+1} - u_{n} = (2(n+1) + 1)/(5(n+1) - 1) - (2n + 1)/(5n - 1)
= (2n + 3)/(5n + 4) - (2n + 1)/(5n - 1)
= [(2n + 3)(5n - 1) - (2n + 1)(5n + 4)] / [(5n + 4)(5n - 1)]
= (10n^2 + 7n - 3 - 10n^2 - 3n - 4) / [(5n + 4)(5n - 1)]
= (4n - 7) / [(5n + 4)(5n - 1)]

Để chứng minh u_{n+1} < u_{n}, ta cần chứng minh (4n - 7) / [(5n + 4)(5n - 1)] < 0 với mọi n.

Ta có:
- Khi n < 7/4, ta có 4n - 7 < 0 và (5n + 4)(5n - 1) > 0, do đó (4n - 7) / [(5n + 4)(5n - 1)] < 0.
- Khi n > 7/4, ta có 4n - 7 > 0 và (5n + 4)(5n - 1) > 0, do đó (4n - 7) / [(5n + 4)(5n - 1)] > 0.

Vậy, ta có u_{n+1} < u_{n} với mọi n, tức là dãy số (u_{n}) giảm.

2. Dãy số (u_{n}) bị chặn:
Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng tồn tại một giới hạn dưới và giới hạn trên cho dãy số (u_{n}).

Ta có: u_{n} = (2n + 1)/(5n - 1)

- Khi n > 0, ta có: u_{n} > 0, vì (2n + 1) > 0 và (5n - 1) > 0.
- Khi n > 1/5, ta có: u_{n} < 1, vì (2n + 1) < 2n + 2 và (5n - 1) > 5n - 5.

Vậy, ta có 0 < u_{n} < 1 với mọi n > 1/5, tức là dãy số (u_{n}) bị chặn.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng dãy số (u_{n}) giảm và bị chặn.