Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB và E là điểm đối xứng với H qua M

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. M là trung điểm của AB, nên AM = MB. E là điểm đối xứng của H qua M, nên ME = MH.

Vì AM = MB và ME = MH, nên tam giác AME và BMH là tam giác đồng dạng (theo nguyên lý đối xứng).

Do đó, góc AME = góc BMH và góc AEM = góc BMH.

Vậy, tam giác AME và BMH là hai tam giác đồng dạng có cạnh chung EM.

Do đó, góc AEM = góc BMH = 90 độ (góc vuông).

Vậy, tam giác AHBE là hình chữ nhật (có 4 góc vuông).

b) Ta đã chứng minh được tam giác AHBE là hình chữ nhật.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc AHB = 90 độ.

Vì tam giác AHBE là hình chữ nhật, nên góc AHE = 90 độ.

Vậy, góc AHB = góc AHE = 90 độ.

Vậy, tam giác ACHE là hình bình hành (có 2 cạnh song song và bằng nhau).

c) Gọi N là trung điểm của AC. Ta cần chứng minh ba đường thẳng AH, CE, MN đồng quy.

Ta có AM = MB và AN = NC (do N là trung điểm của AC), nên MN song song với BC và MN = BC/2.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc BAH = 90 độ.

Vì tam giác AHBE là hình chữ nhật, nên góc AHE = 90 độ.

Vậy, góc BAH = góc AHE = 90 độ.

Vậy, AH song song với CE và AH = CE.

Vậy, ba đường thẳng AH, CE, MN đồng quy.

d) Ta có CE là đường chéo của hình chữ nhật AHBE, nên CE chia AB thành hai đoạn bằng nhau.

Gọi K là điểm cắt của CE và AB. Ta cần chứng minh AB = 3AK.

Vì CE là đường chéo của hình chữ nhật AHBE, nên góc AHE = 90 độ.

Vì tam giác AHBE là hình chữ nhật, nên góc AHE = góc BEH.

Vậy, tam giác AHE và tam giác BEH là hai tam giác đồng dạng (có cạnh chung HE).

Do đó, AH/BE = AE/EH.

Vì AE = 2AM (do E là điểm đối xứng của H qua M), nên AH/BE = 2AM/EH.

Vì AM = MK (do M là trung điểm của AB), nên AH/BE = 2MK/EH.

Vì tam giác ACN là tam giác đồng dạng với tam giác AHE (có cạnh chung AC), nên AC/AH = AN/AE.

Vì AN = NC (do N là trung điểm của AC), nên AC/AH = NC/AE.

Vì AE = 2AM, nên AC/AH = NC/2AM.

Vì tam giác ACN là tam giác đồng dạng với tam giác MKH (có cạnh chung AC), nên AC/NC = MK/MH.

Vì MK = AM, nên AC/NC = AM/MH.

Vậy, AC/AH = NC/2AM = AC/NC = AM/MH.

Vậy, AH = 2AM và BE = 2MK.

Vậy, AB = AH + HB = 2AM + 2MK = 2(AK + MK) = 2AK + 2MK = 3AK.

Vậy, AB = 3AK.