Cho A=5+5^2+5^3+...+5^2022. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 806

Để chứng minh rằng A chia hết cho 806, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ta có A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022.
Ta thấy rằng A có dạng tổng của các lũy thừa của 5, với số lũy thừa từ 1 đến 2022.

Giả sử p = 401 là một số nguyên tố. Ta sẽ chứng minh rằng A ≡ 0 (mod 401).

Ta có:
A ≡ 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022 (mod 401)
≡ 5(1 + 5 + 5^2 + ... + 5^2021) (mod 401)
≡ 5(5^2022 - 1)/(5 - 1) (mod 401)
≡ (5^2022 - 1)/4 (mod 401)

Áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:
5^400 ≡ 1 (mod 401)

Vì vậy:
5^2022 ≡ (5^400)^5 * 5^22 ≡ 1^5 * 5^22 ≡ 5^22 (mod 401)

Tiếp theo, ta sẽ tính giá trị của 5^22 (mod 401). Ta có:
5^22 ≡ (5^2)^11 ≡ 25^11 (mod 401)
≡ (401 - 376)^11 (mod 401)
≡ (-376)^11 (mod 401)

Để tính (-376)^11 (mod 401), ta sẽ sử dụng định lý nhỏ của Fermat một lần nữa:
(-376)^400 ≡ 1 (mod 401)

Vì vậy:
(-376)^11 ≡ (-376)^1 * (-376)^10 ≡ -376^10 (mod 401)

Tiếp tục tính giá trị của (-376)^10 (mod 401):
(-376)^10 ≡ (376^2)^5 ≡ 141376^5 (mod 401)
≡ (401 - 25)^5 (mod 401)
≡ (-25)^5 (mod 401)

Để tính (-25)^5 (mod 401), ta sẽ sử dụng định lý nhỏ của Fermat một lần nữa:
(-25)^400 ≡ 1 (mod 401)

Vì vậy:
(-25)^5 ≡ (-25)^1 * (-25)^4 ≡ -25^4 (mod 401)

Tiếp tục tính giá trị của (-25)^4 (mod 401):
(-25)^4 ≡ (25^2)^2 ≡ 625^2 (mod 401)
≡ (401 - 24)^2 (mod 401)
≡ (-24)^2 (mod 401)

Để tính (-24)^2 (mod 401), ta sẽ sử dụng định lý nhỏ của Fermat một lần nữa:
(-24)^400 ≡ 1 (mod 401)

Vì vậy:
(-24)^2 ≡ (-24)^1 * (-24)^1 ≡ -24^1 (mod 401)

Tiếp tục tính giá trị của -24^1 (mod 401):
-24^1 ≡ 401 - 24 ≡ 377 (mod 401)

Vậy ta có:
A ≡ (5^2022 - 1)/4 ≡ (-376)^11/4 ≡ (-25)^5/4 ≡ (-24)^2/4 ≡ 377/4 (mod 401)

Ta thấy rằng 377 chia hết cho 401, nên A cũng chia hết cho 401.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng A cũng chia hết cho 2.

Ta có:
A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022
= 5(1 + 5 + 5^2 + ... + 5^2021)
= 5(5^2022 - 1)/(5 - 1)
= (5^2022 - 1)/4

Vì 5^2022 là số lẻ, nên (5^2022 - 1) chia hết cho 2. Do đó, A chia hết cho 2.

Vậy, A chia hết cho cả 401 và 2. Vì 401 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên A chia hết cho tích của chúng, tức là 401 * 2 = 802.

Tuy nhiên, ta cần chứng minh rằng A cũng chia hết cho 401 * 2 = 802.

Ta có:
A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022
= 5(1 + 5 + 5^2 + ... + 5^2021)
= 5(5^2022 - 1)/(5 - 1)
= (5^2022 - 1)/4

Ta sẽ chứng minh rằng (5^2022 - 1) chia hết cho 802.

Ta có:
5^2022 - 1 = (5^2022 - 1) - (5^2 - 1)
= (5^2022 - 5^2) + (1 - 1)
= 5^2(5^2020 - 1) + 0

Vì 5^2 chia hết cho 802, nên (5^2022 - 1) cũng chia hết cho 802.

Vậy, A chia hết cho 802.

Tổng kết, ta đã chứng minh được rằng A chia hết cho 802.