Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của BC. Gọi M, N thứ tự là chân đường vuông góc từ I tới AB và AC

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên ta có đường cao AH vuông góc với BC. Vì I là trung điểm của BC, nên ta có AI là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có AI vuông góc với BC và cắt BC tại I.

Vì IM là đường cao của tam giác AIN và AI vuông góc với BC, nên ta có AM = IN. Tương tự, ta có AN = IM.

Vậy, ta có AM = IN và AN = IM, suy ra tam giác AMIN là hình chữ nhật.

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của ID. Khi đó, ta có IM = MD.

Ta có tam giác BMI và tam giác IMC có cạnh chung IM và góc BMN = góc CMI = 90 độ (do BM vuông góc với AI và CM vuông góc với AI).

Vì IM = MD, nên ta có BM = MC (do M là trung điểm của ID).

Vậy, ta có tam giác BMI = tam giác IMC.

Ta cũng có góc AIB = góc BID = 90 độ (do AI vuông góc với BC và ID vuông góc với BC).

Vì AI = ID (do M là trung điểm của ID), nên ta có tam giác AIB = tam giác BID.

Vậy, ta có tam giác AIBD là hình thoi.