a) Ta có:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có: AH là đường cao, nên AH là đường trung bình của tam giác vuông, nên AH = BC/2 = 20/2 = 10 cm.
- Trong tam giác vuông ABC, ta có: AH là đường cao, nên AH là đường phân giác góc A, nên AH chia đôi góc BAC, tức là góc BAH = góc CAH.
- Vì góc BAH = góc CAH, nên tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc.
- Vì tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc, nên ta có tỉ số đồng dạng: AB/AC = BH/CH.
- Thay giá trị vào, ta có: 12/AC = 10/CH.
- Từ đó, ta suy ra: CH = 12/10 * AC = 6/5 * AC.
- Vì AB = 12 cm, nên ta có: AC = √(AB^2 - BC^2) = √(12^2 - 20^2) = √(144 - 400) = √(-256) (vô lý vì không thể lấy căn bậc 2 của một số âm).
- Vậy, không tồn tại giá trị của CH và AC để thỏa mãn điều kiện.

b) Ta có:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có: AH là đường cao, nên AH là đường phân giác góc A, nên AH chia đôi góc BAC, tức là góc BAH = góc CAH.
- Vì góc BAH = góc CAH, nên tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc.
- Vì tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc, nên ta có tỉ số đồng dạng: AB/AC = BH/CH.
- Thay giá trị vào, ta có: AB/AC = BH/CH = BH/(6/5 * AC) = 5BH/(6AC).
- Ta cần chứng minh: AM * AB = AN * AC.
- Ta có: AM * AB = (AB - BM) * AB = AB^2 - AB * BM.
- Ta có: AN * AC = (AC - CN) * AC = AC^2 - AC * CN.
- Vì BM = CN (vì M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC), nên ta có: AB^2 - AB * BM = AC^2 - AC * CN.
- Từ đó, ta suy ra: AM * AB = AN * AC.
- Vậy, ta đã chứng minh được AM * AB = AN * AC.

c) Ta có:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có: AH là đường cao, nên AH là đường phân giác góc A, nên AH chia đôi góc BAC, tức là góc BAH = góc CAH.
- Vì góc BAH = góc CAH, nên tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc.
- Vì tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc, nên ta có tỉ số đồng dạng: AB/AC = BH/CH.
- Thay giá trị vào, ta có: AB/AC = BH/CH = BH/(6/5 * AC) = 5BH/(6AC).
- Ta có: TanB = BH/AB và TanC = CH/AC.
- Thay giá trị vào, ta có: TanB + TanC = BH/AB + CH/AC = 5BH/(6AC) + CH/AC = (5BH + 6CH)/(6AC).
- Vì AB = 12 cm, BC = 20 cm và CH = 6/5 * AC, nên ta có: 5BH + 6CH = 5BH + 6 * (6/5 * AC) = 5BH + 36/5 * AC = 5BH + 7.2AC.
- Thay giá trị vào, ta có: TanB + TanC = (5BH + 7.2AC)/(6AC) = BC/AH.
- Vậy, ta đã chứng minh được TanB + TanC = BC/AH.

d) Ta có:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có: AH là đường cao, nên AH là đường phân giác góc A, nên AH chia đôi góc BAC, tức là góc BAH = góc CAH.
- Vì góc BAH = góc CAH, nên tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc.
- Vì tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH theo góc, nên ta có tỉ số đồng dạng: AB/AC = BH/CH.
- Thay giá trị vào, ta có: AB/AC = BH/CH = BH/(6/5 * AC) = 5BH/(6AC).
- Ta có: MN = AM - AN.
- Thay giá trị vào, ta có: MN = (AB - BM) - (AC - CN) = AB - AC + CN - BM.
- Vì BM = CN (vì M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC), nên ta có: MN = AB - AC.
- Ta có: BC^3 = AB^2 * BC = AB^2 * (AB - AC) = AB^3 - AB^2 * AC.
- Ta có: BH^3 = AB^2 * BH = AB^2 * (AB - BM) = AB^3 - AB^2 * BM.
- Ta có: MN * AB * AC = (AB - AC) * AB * AC = AB^2 * AC - AB * AC^2.
- Thay giá trị vào, ta có: BC^3 = BH^3 + 3MN * AB * AC.
- Vậy, ta đã chứng minh được BC^3 = BH^3 + 3MN * AB * AC.