Để chứng minh giá trị của M không phụ thuộc vào biến, ta cần chứng minh rằng M là hằng số trên đường tròn x^2 + y^2 = 2.

Đặt f(x, y) = (x^2-1)^2 + (y^2-1)^2 + 2x^2y^2.

Để tìm giá trị cực tiểu của f(x, y), ta cần tìm các điểm (x, y) thỏa mãn ∇f(x, y) = 0.

∇f(x, y) = (4x(x^2-1) + 4xy^2, 4y(y^2-1) + 4yx^2) = (4x^3 - 4x + 4xy^2, 4y^3 - 4y + 4yx^2).

Điều kiện ∇f(x, y) = 0 tương đương với hệ phương trình sau:
4x^3 - 4x + 4xy^2 = 0,
4y^3 - 4y + 4yx^2 = 0.

Chú ý rằng x = 0 và y = 0 không thể là nghiệm của hệ phương trình trên vì x^2 + y^2 = 2. Do đó, ta có thể chia cả hai phương trình cho 4xy và 4yx để thu được:
x^2 - 1 + y^2/x^2 = 0,
y^2 - 1 + x^2/y^2 = 0.

Đặt a = x^2 và b = y^2, ta có hệ phương trình sau:
a - 1 + b/a = 0,
b - 1 + a/b = 0.

Nhân cả hai phương trình với a và b, ta có:
a^2 - a + b = 0,
b^2 - b + a = 0.

Cộng hai phương trình trên, ta có:
(a^2 - a + b) + (b^2 - b + a) = 0,
a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 = 0,
(a - 1)^2 + (b - 1)^2 = 0.

Vì (a - 1)^2 và (b - 1)^2 không âm, ta có (a - 1)^2 + (b - 1)^2 = 0 tương đương với a - 1 = 0 và b - 1 = 0. Từ đó, ta suy ra a = 1 và b = 1, tức là x^2 = 1 và y^2 = 1.

Vì x^2 + y^2 = 2, ta có hai trường hợp x = ±1 và y = ±1. Khi đó, M = (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + 2x^2y^2 = 0 + 0 + 2 = 2.

Vậy, giá trị của M không phụ thuộc vào biến.