Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của các số nguyên.

Đầu tiên, ta có thể biến đổi biểu thức T như sau:

T = (a - b)^2022 + (b - c)^2022 + (a - c)^2022
= (a - b)^2 * [(a - b)^2020 + (b - c)^2020 + (a - c)^2020]
= (a - b)^2 * [(a - b)^2 * (a - b)^2018 + (b - c)^2 * (b - c)^2018 + (a - c)^2 * (a - c)^2018]
= (a - b)^2 * [(a^2 - 2ab + b^2) * (a - b)^2018 + (b^2 - 2bc + c^2) * (b - c)^2018 + (a^2 - 2ac + c^2) * (a - c)^2018]
= (a - b)^2 * [(a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3) * (a - b)^2016 + (b^3 - 2b^2c + bc^2 - b^2c + 2bc^2 - c^3) * (b - c)^2016 + (a^3 - 2a^2c + ac^2 - a^2c + 2ac^2 - c^3) * (a - c)^2016]
= (a - b)^2 * [(a^4 - 2a^3b + a^2b^2 - a^3b + 2a^2b^2 - ab^3 - a^2b + 2ab^2 - b^4) * (a - b)^2014 + (b^4 - 2b^3c + b^2c^2 - b^3c + 2b^2c^2 - bc^3 - b^2c + 2bc^2 - c^4) * (b - c)^2014 + (a^4 - 2a^3c + a^2c^2 - a^3c + 2a^2c^2 - ac^3 - a^2c + 2ac^2 - c^4) * (a - c)^2014]
= (a - b)^2 * [(a^5 - 2a^4b + a^3b^2 - a^4b + 2a^3b^2 - a^2b^3 - a^3b + 2a^2b^2 - ab^4 - a^2b + 2ab^2 - b^5) * (a - b)^2012 + (b^5 - 2b^4c + b^3c^2 - b^4c + 2b^3c^2 - b^2c^3 - b^3c + 2b^2c^2 - bc^4 - b^2c + 2bc^2 - c^5) * (b - c)^2012 + (a^5 - 2a^4c + a^3c^2 - a^4c + 2a^3c^2 - a^2c^3 - a^3c + 2a^2c^2 - ac^4 - a^2c + 2ac^2 - c^5) * (a - c)^2012]
= (a - b)^2 * [(a^6 - 2a^5b + a^4b^2 - a^5b + 2a^4b^2 - a^3b^3 - a^4b + 2a^3b^2 - a^2b^4 - a^3b + 2a^2b^2 - ab^5 - a^2b + 2ab^2 - b^6) * (a - b)^2010 + (b^6 - 2b^5c + b^4c^2 - b^5c + 2b^4c^2 - b^3c^3 - b^4c + 2b^3c^2 - b^2c^4 - b^3c + 2b^2c^2 - bc^5 - b^2c + 2bc^2 - c^6) * (b - c)^2010 + (a^6 - 2a^5c + a^4c^2 - a^5c + 2a^4c^2 - a^3c^3 - a^4c + 2a^3c^2 - a^2c^4 - a^3c + 2a^2c^2 - ac^5 - a^2c + 2ac^2 - c^6) * (a - c)^2010]
= ...

Như vậy, ta có thể thấy rằng biểu thức T sẽ có dạng:

T = (a - b)^2 * [(a^2 - 2ab + b^2) * P(a, b) + (b^2 - 2bc + c^2) * P(b, c) + (a^2 - 2ac + c^2) * P(a, c)]

Trong đó, P(x, y) là một đa thức của x và y có bậc là 2010.

Để tính giá trị của biểu thức T, ta cần biết giá trị của a, b, c. Tuy nhiên, từ điều kiện a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac, ta có thể suy ra:

(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 2(ab + bc + ac) - 2(a^2 + b^2 + c^2) = 0

Do đó, ta có a = b = c.

Thay a = b = c vào biểu thức T, ta có:

T = (a - a)^2 * [(a^2 - 2a^2 + a^2) * P(a, a) + (a^2 - 2a^2 + a^2) * P(a, a) + (a^2 - 2a^2 + a^2) * P(a, a)]
= 0

Vậy giá trị của biểu thức T là 0.