Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng định lý cộng các số chia hết cho 3.

Đầu tiên, ta có công thức tổng của dãy số học cấp số nhân: S = a * (r^n - 1) / (r - 1), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức này vào dãy số A, ta có:
A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100
= 2 * (2^100 - 1) / (2 - 1)
= 2 * (2^100 - 1)

Ta sẽ chứng minh rằng 2^100 - 1 chia hết cho 3.

Ta biểu diễn 2^100 - 1 dưới dạng (2^3)^33 - 1, và áp dụng công thức a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), ta có:
2^100 - 1 = (2^3)^33 - 1
= (2^3 - 1)((2^3)^2 + (2^3)(1) + 1)
= 7 * (2^6 + 8 + 1)
= 7 * (64 + 8 + 1)
= 7 * 73

Vì vậy, ta thấy rằng 2^100 - 1 chia hết cho 3.

Do đó, A = 2 * (2^100 - 1) chia hết cho 3 theo định lý cộng các số chia hết cho 3.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng A chia hết cho 3.