Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Trên đoạn AD lấy điểm E bất kì ( E khác A và D ). Qua E kẻ các đường vuông góc với AB, AC, lần lượt tại M, N. Chứng minh tứ giác AMEN là hình vuông

a) Ta có AD là đường trung bình của tam giác ABC, nên AD là đường cao của tam giác vuông ABC tại A. Do đó, AM là đường cao của tam giác vuông ABC tại A.

Vì AE vuông góc với AB và AM vuông góc với AB, nên AE // AM.

Tương tự, ta có EN // AM.

Vậy tứ giác AMEN là hình vuông.

b) Ta có AM // BC (do AM là đường cao của tam giác ABC tại A) và AE // MN (vì tứ giác AMEN là hình vuông), nên AM // MN.

Từ đó, suy ra MN // BC.

c) Ta có DN vuông góc với AB và MF vuông góc với DN, nên MF vuông góc với AB.

Vì AM vuông góc với AB và MF vuông góc với AB, nên AM // MF.

Từ đó, suy ra AM // DN.

Vậy tứ giác AMFD là hình chữ nhật.

Do đó, AFE = 90°.

d) Ta có AM // BC (do AM là đường cao của tam giác ABC tại A) và AE // BF (vì tứ giác AMEN là hình vuông), nên AM // BF.

Từ đó, suy ra BF // BC.

Vậy B, E, F thẳng hàng.