Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. M là trung điểm của AC. Chứng minh AB^2 = BH. BC

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Pythagoras, ta có: AB^2 = AH^2 + BH^2. (1)
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH^2 = HC.HM. (2)
Thay (2) vào (1), ta có: AB^2 = HC.HM + BH^2.
Vì M là trung điểm của AC, nên HC = 2HM.
Thay vào biểu thức trên, ta có: AB^2 = 2HM.HM + BH^2 = BH.BC. (đpcm)

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Pythagoras, ta có: AB^2 = AH^2 + BH^2. (1)
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH^2 = HC.HM. (2)
Thay (2) vào (1), ta có: AB^2 = HC.HM + BH^2.
Vì M là trung điểm của AC, nên HC = 2HM.
Thay vào biểu thức trên, ta có: AB^2 = 2HM.HM + BH^2 = BH.BC. (3)

Gọi K là hình chiếu của A lên BM. Ta có tam giác ABK và tam giác CBM đồng dạng (cùng có góc vuông tại B).
Vì tam giác ABK và tam giác CBM đồng dạng, nên ta có: AB/BM = CB/CM. (4)
Từ (3), ta có: AB^2 = BH.BC.
Từ (4), ta có: AB/BM = CB/CM.
Nhân cả hai vế của (4) với BM, ta có: AB = BH.BC/BM.
Vậy AB = BH.BC/BM. (đpcm)

c) Ta có tam giác ABK và tam giác CBM đồng dạng (cùng có góc vuông tại B).
Vì M là trung điểm của AC, nên AM = MC.
Vì tam giác ABK và tam giác CBM đồng dạng, nên ta có: AB/BM = CB/CM.
Thay AB = BH.BC/BM và AM = MC vào biểu thức trên, ta có: BH.BC/BM = CB/MC.
Nhân cả hai vế của biểu thức trên với BM.MC, ta có: BH.BC = CB.MC.
Vậy tam giác MKC và tam giác MCB đồng dạng. (đpcm)

d) Ta có tam giác ABK và tam giác CBM đồng dạng (cùng có góc vuông tại B).
Vì tam giác ABK và tam giác CBM đồng dạng, nên ta có: AB/BM = CB/CM.
Từ (3), ta có: AB^2 = BH.BC.
Thay AB = BH.BC/BM vào biểu thức trên, ta có: (BH.BC/BM)^2 = BH.BC.
Nhân cả hai vế của biểu thức trên với BM^2, ta có: BH^2.BC = BH.BC.BM^2.
Chia cả hai vế của biểu thức trên cho BC, ta có: BH^2 = BH.BM^2.
Vì BH > 0, nên ta có: BH = BM^2.
Vậy AK^2 = KH.KC. (đpcm)