Giải phương trình lượng giác

Để giải phương trình lượng giác căn 2 (sinx-2 cosx)=2-sin2x, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt t = sinx và u = cosx, ta có căn 2 (sinx-2 cosx) = căn 2 (t - 2u).

Bước 2: Thay t và u vào phương trình ban đầu, ta có căn 2 (t - 2u) = 2 - t^2.

Bước 3: Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có t - 2u = (2 - t^2)^2.

Bước 4: Mở ngoặc và rút căn 2 cả hai vế của phương trình, ta có căn 2 (t - 2u) = căn 2 (4 - 4t^2 + t^4).

Bước 5: Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có t - 2u = 4 - 4t^2 + t^4.

Bước 6: Đặt z = t^2, ta có phương trình tương đương z - 2u = 4 - 4z + z^2.

Bước 7: Đặt phương trình trên dưới dạng bình phương của một biểu thức, ta có (z - 2 + 1)^2 = 4 - 4z + z^2.

Bước 8: Giải phương trình bậc hai trên, ta có z^2 - 6z + 9 = 0.

Bước 9: Giải phương trình bậc hai trên, ta có (z - 3)^2 = 0.

Bước 10: Giải phương trình trên, ta có z = 3.

Bước 11: Thay z = t^2 vào, ta có t^2 = 3.

Bước 12: Rút căn cả hai vế của phương trình, ta có t = ±√3.

Bước 13: Thay t = sinx vào, ta có sinx = ±√3.

Bước 14: Giải phương trình sinx = ±√3, ta có x = arcsin(±√3) + 2kπ và x = π - arcsin(±√3) + 2kπ, với k là số nguyên.

Vậy, phương trình có các nghiệm là x = arcsin(√3) + 2kπ, x = π - arcsin(√3) + 2kπ, x = arcsin(-√3) + 2kπ, và x = π - arcsin(-√3) + 2kπ, với k là số nguyên.