Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, vẽ HE vuông góc với AB tại E

Để chứng minh phương trình cần, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông.

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có:
AM = MB (vì tam giác ABC cân tại A)
CM ⊥ AB (vì CK là đường cao của tam giác ABC)

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ACM, ta có:
AC^2 = AM^2 + CM^2

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ACH, ta có:
AC^2 = AH^2 + CH^2

Do đó, ta có:
AM^2 + CM^2 = AH^2 + CH^2

Vì AM = MB, ta có:
MB^2 + CM^2 = AH^2 + CH^2

Vì CK là đường cao của tam giác ABC, ta có:
CH = 2AH

Thay CH = 2AH vào phương trình trên, ta có:
MB^2 + CM^2 = AH^2 + (2AH)^2

Tương đương với:
MB^2 + CM^2 = AH^2 + 4AH^2

Tương đương với:
MB^2 + CM^2 = 5AH^2

Vì MB^2 = 1/4 AB^2 (vì M là trung điểm của AB), ta có:
1/4 AB^2 + CM^2 = 5AH^2

Nhân cả hai vế của phương trình với 4, ta có:
AB^2 + 4CM^2 = 20AH^2

Vì CK là đường cao của tam giác ABC, ta có:
CM = CB

Thay CM = CB vào phương trình trên, ta có:
AB^2 + 4CB^2 = 20AH^2

Tương đương với:
1/4 CB^2 + CB^2 = 20AH^2

Tương đương với:
1/4 CB^2 + 4/4 CB^2 = 20AH^2

Tương đương với:
5/4 CB^2 = 20AH^2

Tương đương với:
CB^2 = 4AH^2

Do đó, ta đã chứng minh được phương trình cần.