Để chứng minh rằng S chia hết cho 4, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng của dãy số 3, 3^2, 3^3, 3^4, ..., 3^2022 chia hết cho 4.

Ta thấy rằng các số hạng của dãy số này có dạng 3^n, với n là số nguyên không âm. Ta có thể phân tích các số hạng này thành tích của các số 3:

3 = 3^1
3^2 = 3 * 3
3^3 = 3 * 3 * 3
3^4 = 3 * 3 * 3 * 3
...

Ta thấy rằng mỗi số hạng của dãy số này chứa ít nhất 2 số 3. Vì vậy, tổng các số hạng của dãy số này chứa ít nhất 2 * 2023 = 4046 số 3.

Để chứng minh rằng tổng các số hạng của dãy số này chia hết cho 4, ta cần chứng minh rằng tổng các số 3 chia hết cho 2.

Ta biết rằng mỗi số hạng của dãy số này chứa ít nhất 2 số 3. Vì vậy, tổng các số 3 chứa ít nhất 2 * 4046 = 8092 số 3.

Ta biết rằng tổng các số 3 chia hết cho 2 nếu tổng các số 3 chia hết cho 4. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng tổng các số 3 chia hết cho 4.

Ta có thể phân tích tổng các số 3 thành tổng các số 3 chia hết cho 4 và tổng các số 3 không chia hết cho 4.

Tổng các số 3 chia hết cho 4 chứa các số hạng có dạng 3^2, 3^4, 3^6, ..., 3^2022. Ta có thể phân tích các số hạng này thành tích của các số 3:

3^2 = 3 * 3
3^4 = 3 * 3 * 3 * 3
3^6 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3
...
3^2022 = 3 * 3 * ... * 3 (2022 lần)

Ta thấy rằng mỗi số hạng của dãy số này chứa ít nhất 4 số 3. Vì vậy, tổng các số hạng của dãy số này chứa ít nhất 4 * 506 = 2024 số 3.

Tổng các số 3 không chia hết cho 4 chứa các số hạng có dạng 3, 3^3, 3^5, ..., 3^2021. Ta có thể phân tích các số hạng này thành tích của các số 3:

3 = 3^1
3^3 = 3 * 3 * 3
3^5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3
...
3^2021 = 3 * 3 * ... * 3 (2021 lần)

Ta thấy rằng mỗi số hạng của dãy số này chứa ít nhất 2 số 3. Vì vậy, tổng các số hạng của dãy số này chứa ít nhất 2 * 1011 = 2022 số 3.

Tổng các số 3 chia hết cho 4 chứa ít nhất 2024 số 3 và tổng các số 3 không chia hết cho 4 chứa ít nhất 2022 số 3. Vậy, tổng các số 3 chứa ít nhất 2024 + 2022 = 4046 số 3.

Vì tổng các số 3 chứa ít nhất 4046 số 3, nên tổng các số 3 chia hết cho 4.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng S chia hết cho 4.