a) Tính cạnh AH, HB, HC và BC:
Theo định nghĩa, đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân tại H. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH là cạnh huyền của tam giác vuông AHB.
HB là cạnh góc vuông của tam giác vuông AHB, nên HB là cạnh huyền của tam giác vuông BHC.
HC là cạnh góc vuông của tam giác vuông BHC, nên HC là cạnh huyền của tam giác vuông AHC.
BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 4^2 + 5^2
AC^2 = 16 + 25
AC^2 = 41
AC = √41

a) Tính cạnh AH, HB, HC và BC:
- Cạnh AH: AH là cạnh huyền của tam giác vuông AHB, nên AH = AB = 4cm.
- Cạnh HB: HB là cạnh huyền của tam giác vuông BHC, nên HB = HC = 5cm.
- Cạnh HC: HC là cạnh huyền của tam giác vuông AHC, nên HC = AC = √41 cm.
- Cạnh BC: BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC, nên BC = AC + AB = √41 + 4 cm.

b) Gọi D là hình chiếu của H xuống AB. Chứng minh rằng AD.AB = HB.HC:
Ta có tam giác AHD và tam giác BHC là hai tam giác vuông cân có cạnh huyền là AH và HB. Vì vậy, ta có:

AD = BH
AB = HC

Vậy, ta có:

AD.AB = BH.HC

Bài 6:
a) Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC:
- Đoạn AH: AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH chia cạnh BC thành hai đoạn BH và HC theo tỉ lệ đồng dạng với tam giác ABC. Vì BH = 6cm và HC = 4cm, nên AH = BH + HC = 6 + 4 = 10cm.
- Đoạn AB: AB là cạnh góc vuông của tam giác ABC, nên AB = √(AH^2 + BH^2) = √(10^2 + 6^2) = √(100 + 36) = √136 cm.
- Đoạn AC: AC là cạnh huyền của tam giác ABC, nên AC = √(AB^2 + BC^2) = √(√136^2 + 10^2) = √(136 + 100) = √236 cm.

b) Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ AK vuông góc BM (K thuộc BM). Chứng minh: BK.BM = BH.BC:
Ta có tam giác ABM và tam giác CBK là hai tam giác vuông cân có cạnh huyền là AB và BC. Vì vậy, ta có:

BK = AB
BM = BC

Vậy, ta có:

BK.BM = AB.BC

Bài 7:
a) Tính độ dài AC, BH và AH:
- Độ dài AC: AC là cạnh huyền của tam giác ABC, nên AC = √(AB^2 + BC^2) = √(12^2 + 20^2) = √(144 + 400) = √544 cm.
- Độ dài BH: BH là cạnh góc vuông của tam giác ABC, nên BH = AC = √544 cm.
- Độ dài AH: AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH chia cạnh BC thành hai đoạn BH và HC theo tỉ lệ đồng dạng với tam giác ABC. Vì BH = AC = √544 cm và HC = BC = 20 cm, nên AH = BH + HC = √544 + 20 = √564 cm.

b) Chứng minh HB.HC = AC^2 - HC^2:
Ta có tam giác AHB và tam giác CHB là hai tam giác vuông cân có cạnh huyền là AH và HC. Vì vậy, ta có:

HB = AH
HC = AC

Vậy, ta có:

HB.HC = AH.AC = AC^2 - HC^2

Bài 8:
a) Tính độ dài AC và AH:
- Độ dài AC: AC là cạnh huyền của tam giác ABC, nên AC = √(AB^2 + BC^2) = √(9^2 + 15^2) = √(81 + 225) = √306 cm.
- Độ dài AH: AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH chia cạnh BC thành hai đoạn BH và HC theo tỉ lệ đồng dạng với tam giác ABC. Vì BH = AB = 9 cm và HC = BC = 15 cm, nên AH = BH + HC = 9 + 15 = 24 cm.

b) Kẻ tia phân giác AM của góc BAC (M thuộc BC). Tính diện tích tam giác ABM (làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất):
Để tính diện tích tam giác ABM, ta cần biết độ dài cạnh BM. Ta có:

BM = BC - CM
BM = 15 - 7.5
BM = 7.5 cm

Diện tích tam giác ABM là:

S = 1/2 * AB * BM
S = 1/2 * 9 * 7.5
S = 33.75 cm^2 (làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất)