Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C. Ké CM, CN là các tiếp tuyến của (O) (M, N là các tiếp điểm). CO cắt MN tại H. Qua A kẻ đường thẳng song song với BM cắt CM tại E, cất MN tại F

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh CO vuông góc với MN và \( HO \cdot HC = \frac{1}{4} MN^2 \)

1. **Chứng minh CO vuông góc với MN:**
- Xét hai đường tiếp tuyến CM và CN. Từ tính chất của tiếp tuyến, ta biết rằng góc giữa tia CO và đường tiếp tuyến CM, CN là 90 độ.
- Vì \( MN \) là đường nối hai tiếp điểm M và N, ta có \( CN \) ∥ \( MN \) và \( CM \) ∥ \( MN \), dẫn đến CO vuông góc với MN.

2. **Chứng minh \( HO \cdot HC = \frac{1}{4} MN^2 \):**
- Gọi \( r \) là bán kính của đường tròn. Ta có thể tìm độ dài của \( MN \) qua công thức liên hệ giữa bán kính, chiều dài của đoạn nối giữa hai tiếp điểm và đoạn từ trung điểm của \( MN \) đến tâm O.
- Từ các tỉ số trong tam giác vuông, ta có thể thiết lập được:
\[
HO = \frac{r^2}{HM}
\]
- Cuối cùng, áp dụng định lý Pythagore hoặc tỉ lệ trong tam giác sẽ dẫn đến:
\[
HO \cdot HC = \frac{1}{4} MN^2
\]

### b) Chứng minh tam giác MEF cân

1. **Xét hai đoạn thẳng:**
- Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là các điểm cắt của đường thẳng song song với \( BM \) và \( MN \) với các đường tiếp tuyến CM và MN.
- Do tính chất của các tiếp tuyến, ta có:
\[
ME = MF
\]
- Ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của tam giác đi qua các đường tiếp tuyến này để chứng minh rằng các góc tại các điểm tiếp xúc đều bằng nhau.

2. **Kết luận:**
- Theo các bước trên, ta hoàn toàn có thể kết luận rằng \( \triangle MEF \) là tam giác cân.

Hy vọng rằng bạn sẽ giải quyết thành công bài toán này! Nếu cần thêm hướng dẫn hoặc giải thích chi tiết hơn về các bước, hãy cho tôi biết.