Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB

a) Góc MON là góc giữa tiếp tuyến tại M và tiếp tuyến tại N. Vì M và N nằm trên cùng một nửa đường tròn, nên góc MON là góc giữa hai tiếp tuyến cùng cắt nửa đường tròn. Theo tính chất của góc nội tiếp, góc giữa hai tiếp tuyến cắt nửa đường tròn bằng góc nội tiếp tương ứng. Vậy góc MON bằng góc MAB.

b) Ta có AM + BN = AB (đường kính nửa đường tròn)
Vì MN là tiếp tuyến chung của nửa đường tròn và tia By, nên theo định lý tiếp tuyến, ta có AM = MN.
Tương tự, vì MN là tiếp tuyến chung của nửa đường tròn và tia Ax, nên BN = MN.
Vậy AM + BN = 2MN.
Do đó, ta có: AM + BN = 2MN = 2AM = 2BN.
Từ đó, ta suy ra: AM + BN = 2AM = 2BN = AM + BN = AB.
Vậy ta có: MN = AM = BN = AB/2.

c) Ta có: AM.BN = (AB/2).(AB/2) = AB^2/4 = r^2 (với r là bán kính của nửa đường tròn).
Vậy ta có: AM.BN = r^2.