Để tìm số tự nhiên n thỏa mãn (2n+5) chia hết cho (n+1), ta sẽ sử dụng phương pháp thử và sai.

Giả sử n là một số tự nhiên thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó, ta có:

(2n+5) chia hết cho (n+1)

Tương đương với việc tồn tại một số tự nhiên k sao cho:

2n + 5 = k(n + 1)

Mở ngoặc, ta có:

2n + 5 = kn + k

Đưa các thành phần chứa n về cùng một vế, ta có:

2n - kn = k - 5

Rút gọn biểu thức, ta được:

n(2 - k) = k - 5

Để biểu thức trên đúng, ta cần n(2 - k) chia hết cho (k - 5).

Vậy, ta cần tìm các cặp số tự nhiên (n, k) sao cho n(2 - k) chia hết cho (k - 5).

Tiếp theo, ta sẽ thử các giá trị của k từ 1 đến 5 để tìm các giá trị tương ứng của n.

Khi k = 1, ta có:

n(2 - 1) chia hết cho (1 - 5)

n chia hết cho -4

Vì n là số tự nhiên, nên không tồn tại giá trị n thỏa mãn điều kiện này.

Khi k = 2, ta có:

n(2 - 2) chia hết cho (2 - 5)

0 chia hết cho -3

Vì không tồn tại giá trị nào khiến biểu thức này đúng, nên không có giá trị n thỏa mãn điều kiện này.

Khi k = 3, ta có:

n(2 - 3) chia hết cho (3 - 5)

-n chia hết cho -2

Vì n là số tự nhiên, nên không tồn tại giá trị n thỏa mãn điều kiện này.

Khi k = 4, ta có:

n(2 - 4) chia hết cho (4 - 5)

-2n chia hết cho -1

Vì n là số tự nhiên, nên không tồn tại giá trị n thỏa mãn điều kiện này.

Khi k = 5, ta có:

n(2 - 5) chia hết cho (5 - 5)

-3n chia hết cho 0

Vì không tồn tại giá trị nào khiến biểu thức này đúng, nên không có giá trị n thỏa mãn điều kiện này.

Từ các phép thử trên, ta thấy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn (2n+5) chia hết cho (n+1).