Cho biểu thức A

Để chứng minh A ≤ 2023 với mọi x, ta sẽ chứng minh rằng (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) ≥ 84 với mọi x.

Ta có thể viết lại biểu thức A thành:
A = 2007 - (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)
= 2007 - [(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15)]
= 2007 - (x^4 - 16x^3 + 92x^2 - 240x + 105)

Để chứng minh (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) ≥ 84 với mọi x, ta sẽ chứng minh rằng (x^4 - 16x^3 + 92x^2 - 240x + 105) ≤ 1927 với mọi x.

Đặt f(x) = x^4 - 16x^3 + 92x^2 - 240x + 105. Ta sẽ chứng minh rằng f(x) ≤ 1927 với mọi x.

Đạo hàm của f(x) là f'(x) = 4x^3 - 48x^2 + 184x - 240.

Ta có thể thấy rằng f'(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = 2, x = 5 và x = 6.

Tiếp theo, ta xét sự biến thiên của f(x) trên các khoảng (-∞, 2), (2, 5), (5, 6) và (6, +∞).

- Khi x < 2, ta có f'(x) < 0, do đó f(x) giảm trên khoảng này.
- Khi 2 < x < 5, ta có f'(x) > 0, do đó f(x) tăng trên khoảng này.
- Khi 5 < x < 6, ta có f'(x) < 0, do đó f(x) giảm trên khoảng này.
- Khi x > 6, ta có f'(x) > 0, do đó f(x) tăng trên khoảng này.

Vì f(x) giảm trên khoảng (-∞, 2) và (5, 6), và tăng trên khoảng (2, 5) và (6, +∞), nên giá trị lớn nhất của f(x) xảy ra tại x = 2 và x = 6.

Ta có f(2) = 105 và f(6) = 1927.

Vậy, ta có f(x) ≤ 1927 với mọi x.

Do đó, (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) ≥ 84 với mọi x.

Từ đó, suy ra A ≤ 2023 với mọi x.