a sẽ sử dụng Nguyên lý Dirichlet để chứng minh điều phải chứng minh.

Giả sử ngược lại, tức là trong 13 số đã chọn, không tồn tại hai số a và b sao cho a + b là số nguyên chính phương.

Đặt A là tập hợp các số nguyên chính phương từ 1 đến 48 (bình phương của số lớn nhất trong tập số ban đầu). Đặt B là tập hợp gồm 13 số đã chọn.

Số các số chọn là 13, và số các số chính phương là 7 (1^2, 2^2, ..., 7^2). Theo nguyên lý Dirichlet, ta biết rằng luôn tồn tại một số nguyên chính phương a và một số nguyên chính phương b trong các số đã chọn sao cho a ≡ b (mod 7).

Vì a và b đều là số nguyên chính phương, ta có a = m^2 và b = n^2 với m, n là các số nguyên.

Nhưng do a ≡ b (mod 7), suy ra m ≡ n (mod 7), từ đó m^2 ≡ n^2 (mod 7). Điều này đồng nghĩa với a ≡ b (mod 7).

Tuy nhiên, a và b cũng thuộc tập hợp B (13 số đã chọn), và theo giả thiết, a và b không cùng thuộc một cặp, do đó ta có a ≢ b (mod 7). Điều này dẫn đến một mâu thuẫn, và giả thiết ban đầu sai.

Vậy, ta kết luận rằng trong 13 số đã chọn, phải tồn tại hai số a và b sao cho a + b là số nguyên chính phương.

Bài 2: Tương tự như bài 1, ta sử dụng nguyên lý Dirichlet.

Giả sử ngược lại, tức là trong 11 số đã chọn, không tồn tại hai số a và b sao cho a + b là số nguyên tố.

Đặt A là tập hợp các số nguyên tố từ 2 đến 39 (tổng của 20 số lớn nhất). Đặt B là tập hợp gồm 11 số đã chọn.

Số các số chọn là 11, và số các số nguyên tố là 8 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19). Theo nguyên lý Dirichlet, ta biết rằng luôn tồn tại một số nguyên tố a và một số nguyên tố b trong các số đã chọn sao cho a ≡ b (mod 8).

Vì a và b đều là số nguyên tố, ta có a, b ∈ {2, 3, 5, 7}. Do đó, theo giả thiết a ≡ b (mod 8), suy ra a = b. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, do đó giả thiết ban đầu sai.

Vậy, ta kết luận rằng trong 11 số đã chọn, phải tồn tại hai số a và b sao cho a + b là số nguyên tố.