a) Ta có:
- Trong tam giác AOB, theo định lí cosin:
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$$
$$18^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos(\angle AOB)$$
$$\cos(\angle AOB) = \frac{18^2 - 12^2 - 9^2}{2 \cdot 12 \cdot 9} = \frac{135}{216} = \frac{5}{8}$$
- Ta có $\angle AOC = \angle AOB$ (do OC song song với AB), nên $\cos(\angle AOC) = \cos(\angle AOB) = \frac{5}{8}$.
- Trong tam giác AOC, theo định lí cosin:
$$OC^2 = OA^2 + AC^2 - 2OA \cdot AC \cdot \cos(\angle AOC)$$
$$OC^2 = 12^2 + AC^2 - 2 \cdot 12 \cdot AC \cdot \frac{5}{8}$$
- Trong tam giác ACD, theo định lí cosin:
$$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$$
$$CD^2 = AC^2 + 3^2 - 2 \cdot AC \cdot 3 \cdot \cos(\angle CAD)$$
- Ta có $\angle CAD = \angle AOC$ (do AD song song với OC), nên $\cos(\angle CAD) = \cos(\angle AOC) = \frac{5}{8}$.
- Từ hai phương trình trên, suy ra:
$$OC^2 = 12^2 + AC^2 - 2 \cdot 12 \cdot AC \cdot \frac{5}{8}$$
$$CD^2 = AC^2 + 3^2 - 2 \cdot AC \cdot 3 \cdot \frac{5}{8}$$
- Từ đó, suy ra:
$$OC^2 - CD^2 = 12^2 - 3^2 - 2 \cdot 12 \cdot AC \cdot \frac{5}{8} + 2 \cdot AC \cdot 3 \cdot \frac{5}{8}$$
$$OC^2 - CD^2 = 144 - 9 - 30AC + 30AC$$
$$OC^2 - CD^2 = 135$$
- Vậy, ta có hệ phương trình:
$$\begin{cases} OC^2 + CD^2 = 135 \\ OC^2 - CD^2 = 135 \end{cases}$$
- Giải hệ phương trình trên, ta được:
$$OC^2 = 135 + 135 = 270$$
$$CD^2 = 135 - 135 = 0$$
- Vì $CD \geq 0$, nên ta có $CD = 0$.
- Từ đó, suy ra $OC = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ và $CD = 0$.

b) Ta có:
- Theo định lí Thales, ta có $\frac{FD}{FA} = \frac{CD}{CA}$.
- Vì $CD = 0$, nên ta có $\frac{FD}{FA} = \frac{0}{CA} = 0$.
- Vậy, tỉ số $\frac{FD}{FA} = 0$.